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Two-locus two-allele dynamics in the weak-selection limit
Martin Pontz
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Josef Hofbauer
DOI
10.25365/thesis.40571
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30353.25485.711770-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Masterarbeit untersucht die evolutionären Dynamiken im Fall von zwei diploiden Loci und zwei Allelen unter der Annahme, dass die Selektionsintensität schwach ist.
Zuerst wird von den bekannten klassischen Gleichungen der Grenzfall für schwache Selektion hergeleitet. Dieser wird dann mit verschiedenen Methoden analysiert und unter anderem werden alle möglichen Flüsse am Rand des Zustandsraumes bestimmt. Wichtig sind dann ein Indextheorem von Hofbauer und die Theorie der saturierten Gleichgewichte, mit deren Hilfe eine erweiterte Fallunterscheidung der Randflüsse durch die Definition der Randindexsumme gemacht werden kann. 80 verschiedene Fälle wären formal möglich, aber für 5 davon wurde die Unmöglichkeit bewiesen und für 69 davon konnte die Existenz gezeigt werden. Also steht in 6 Fälle der Existenzbeweis noch aus.
Im zweiten Teil der Arbeit werden immer rigorosere Bedingungen an die Fitness Parameter gestellt.
Zunächst werden Bedingungen definiert, die ausschließen, dass Isoklinen Polstellen haben und somit sicherstellen, dass die Isoklinen stetig sind. Das System wird unter diesen Bedingungen weiter untersucht.
Danach werden Parameter eliminiert, um lineare Isoklinen zu erhalten. Die daraus resultierenden Gleichungen sind aus der evolutionären Spieltheorie bekannt. Von diesen Gleichungen ausgehend, kann man 3 weitere bekannte Spezialfälle herleiten. Der erste, der dann behandelt wird, ist ein verallgemeinertes additives Model mit Symmetrien und Epistasis. Das zweite ist das wohlbekannte und sehr gut verstandene Standard-Modell mit additiver Fitness. Darauf folgt noch die Analyse des haploiden Models und dessen Zusammenhang zu Partnerschaftsspielen wird aufgezeigt.
Als Abschluss werden zentrosymmetrische Matrizen untersucht. Hier wird, unter der Annahme von schwacher Selektion, aufgezeigt, dass die Relation zwischen epistatischen und nicht-epistatischen Fitnessparametern wichtig ist. Ihr Verhältniss liefert eine leicht zu überprüfende Bedingung über die maximale Anzahl an inneren Gleichgewichten. Noch wichtigere aber auch technischere Bedingungen konnten gefunden werden, wo genau die einzelnen Gleichgewichte liegen und wann sie existieren. Mithilfe der genauen Position aller möglichen Gleichgewichte, konnten alle möglichen Flüsse, die auftreten können, charakterisiert werden.
Abstract
(Englisch)
This Master's thesis studies the evolutionary dynamics of two diploid loci and two alleles under the assumption that the selection intensity is weak.
First the weak-selection limit is derived from the known classical equations. Then, we analyse this limit with different methods, in particular all possible flows on the boundary are characterized. Important is also an index-theorem of Hofbauer and the theory of saturated equilibria, which allows the extension of the characterization in terms of a boundary index sum. All in all 80 different classes can be formally found, but 5 of them turn out to be impossible with our parameters and for 69 parameter-collections were found that give the precise class. Thus for 6 classes it is not known yet if they exist or not.
In the second part of the thesis, various restrictions to the parameters are applied.
First of all, a condition is defined, for which the isoclines do not have poles and are thus continuous in the state space. The implications of this are analysed.
After this, assuming certain relations between the parameters leads to linear isoclines. The resulting equations are well known from evolutionary game theory. From this point, three other well known simpler models can be derived. The first is a generalized additive model with symmetry and epistasis. The second one is the well understood standard additive model. The third is the haploid two-locus two-allele dynamics and its connection to partnership games.
The final section deals with centrosymmetric fitness matrices. This class of selection matrices is also well studied, but not yet fully understood for arbitrary strength of selection. Here we show that the relation between epistasis and non-epistasis parameters plays an important role in this context, since it gives information about the maximum number of internal equilibria. More importantly, but also more technically, we give conditions under which one can tell exactly how many internal fixed points this system has and where they sit.
Applying this knowledge enables us to characterize all possible phase portraits in this model.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
weak-selection limit two-loci two-allele dynamics symmetric viability matrix epistasis
Schlagwörter
(Deutsch)
schwacher Selektions Limes zwei-Locus zwei-Allele Dynamik symmetrische Fitness matrix Epistasis
Autor*innen
Martin Pontz
Haupttitel (Englisch)
Two-locus two-allele dynamics in the weak-selection limit
Paralleltitel (Deutsch)
Zwei-Locus Zwei-Allele Dynamik im Schwachen-Selektions Limes
Publikationsjahr
2015
Umfangsangabe
62 S. : zahlr. graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Josef Hofbauer
AC Nummer
AC13226758
Utheses ID
35932
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |