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Generic one-step bracket generating distributions of rank four
Zanet Chiara De
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Andreas Cap
DOI
10.25365/thesis.41905
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24229.95840.586872-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Sei M eine endlich dimensionale glatte Mannigfalltigkeit. Bezeichne mit H eine glatte Distribution auf M und mit [H,H] jenes Teilbuendel von TM, das von Lie Klammern erster Ordnung von Schnitten von H erzeugt wird. Man nennt H in einem Schritt
klammererzeugend wenn TM = H + [H,H]. Die Hauptresultate in der Dissertation betreffen generische, klammererzeugende Distributionen
vom Rang 4. Zunaechst wird eine vollstaendige Klassifikation ihrer Typen bewiesen. Diese zeigt, dass solche Distributionen genau in den Dimensionen von 5 bis 10 existieren, und wir betrachten die Faelle n = 8 und n = 9, da diese in der Literatur noch nicht
behandelt wurden. Fuer (4,8) Distributionen beweisen wir, dass es zwei verschiedene generische Typen gibt, die beide zu einer
normalen parabolischen Geometrie aequivalent sind. Aufgrund dieser Aequivalenz koennen wir die
lokalen Invarianten dieser Struktur aus der harmonischen Kruemmung der korrespondierenden
parabolischen Geometrie herauslesen, was eine vollstaendige Beschreibung bezueglich der lokalen Geometrie liefert. Dieselben Werkzeuge aus der Theorie der parabolischen Geometrie liefern eine Anwendung in der Beschreibung von submaximalen symmetrischen
Modellen von generischen (4,8) Distributionen vom hyperbolischen Typ. Unter der Verwendung von Resultaten von Tanaka und Morimoto ueber die Verlaengerungsprozedur, die eine bestimmte Konstruktion fuer klassische G Strukturen auf Filtrierungen verallgemeinert,
zeigen wir, dass der (4,9) Fall der niedrigstdimensionale in einer abzaehlbaren Serie von in einem Schritt klammererzeugenden Distributionen ist, die eine kanonische lineare Konnexion auf dem Tangentialbuendel TM bestimmt. Die Torsion und die Kruemmung
dieser Konnexion sind dann lokale Invarianten fuer diese Strukturen.
Abstract
(Englisch)
Let M be a finite--dimensional manifold. Denote by H a smooth subbundle of TM and by [H,H] the subbundle of TM generated by all brackets of first order among sections of H. We say that H is bracket--generating in one step if
TM = H + [H,H]. The main results of the thesis concern generic one-step bracket generating distributions of rank four. First of all, we get the classification of their types. These exist in dimensions between 5 and 10, and we focus on the cases
n=8 and n=9, which
have not been treated in the literature. We prove that there exist two generic types of (4,8)-distributions and that each type is equivalent to a normal parabolic geometry. Aware of this equivalence, we can read out the local invariants for these
structures from the harmonic curvature associated to the corresponding parabolic geometries, thus describing them completely from the point of view of the local geometry. The same tools from parabolic geometry find a nice application in the description of
submaximally symmetric models of generic (4,8)-distributions of hyperbolic type.
Using results of Tanaka and Morimoto about the prolongation procedure, which generalize a certain construction for classical G-structures to the filtered setting, we show that the (4,9)-case is the lowest dimensional in a countable series of one-step
bracket generating distributions which determine a canonical linear connection on the tangent bundle TM. The torsion and curvature of this connection, then, are local invariants for these structures.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Distributions on differentiable manifolds
Schlagwörter
(Deutsch)
Distributionen auf glatte Mannigfaltigkeiten
Autor*innen
Zanet Chiara De
Haupttitel (Englisch)
Generic one-step bracket generating distributions of rank four
Paralleltitel (Deutsch)
Generische in einem Schritt klammererzeugene Distributionen vom Rank vier
Publikationsjahr
2016
Umfangsangabe
v, 112 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jan Slovak ,
Boris Doubrov
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC13324039
Utheses ID
37094
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |