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Weniger bekannte Beweise des quadratischen Reziprozitästgesetzes
Christiane Kroner
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Bewegung und Sport UF Mathematik
Betreuer*in
Christoph Baxa
DOI
10.25365/thesis.44550
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24873.58544.313954-8
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit beschäftigt sich mit drei verschiedenen, eher unbekannten Beweisen des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Man sagt, dass es heute mehr als 150 verschiedene Beweise für dieses Gesetz gibt.
Der als erste angeführte Beweis ist auch historisch gesehen der Erste, der publiziert wurde (von Carl Friedrich Gauß). Es wird nicht nur auf die mathematischen Aspekte des Beweises, sondern auch auf die geschichtlichen Hintergründe eingegangen. Erstaunlich ist, dass die Voraussetzungen und der Beweis selbst von elementarster Natur sind. Das "schwierigste" mathematische Konstrukt sind Kongruenzen zweiten Grades. Die anderen zwei Beweise werden mit Hilfe der Theorie der endlichen Körper durchgeführt und weisen somit natürlich gewisse Gemeinsamkeiten auf. Im Vergleich zum ersten Beweis sind sie sehr kurz. Der zweite Beweis baut auf der Theorie der Gaußschen Summen auf, welche im neunzehnten Jahrhundert entwickelt wurde. Die Gaußsche Summe ist ein bestimmter Typ einer endlichen Summe von Einheitswurzeln. Beim dritten Beweis ist es, nicht zuletzt auf Grund der Länge, etwas schwieriger als beim Zweiten, den Überblick zu behalten. Oft erkennt man erst etwas später wofür gewisse Aussagen angeführt und bewiesen wurden. Zwei wichtige Hilfssätze, die beiden Ergänzungssätze, die im Rahmen des ersten und zweiten Beweises gezeigt werden müssen, liefert der dritte Beweis sehr elegant mit.
Abstract
(Englisch)
This paper deals with three different, lesser known proofs of the law of quadratic reciprocity. It is said that there are more than 150 different proofs of this law today.
The frst cited proof is also historically the frst and was published by Carl Friedrich Gauss. Aside from the mathematical aspects of the proof, the historical background is discussed. It is amazing that the conditions and the proof itself are of the most elementary nature. The most "diffcult" mathematical construct are congruences of the second degree. The two other proofs use the theory of fnite felds and they have naturally similarities. Compared with the frst proof, they are very short. The second proof is based on the theory of Gaussian sums, which are certain types of fnite sums of roots of unity. The third proof is, not least due to its length, more diffcult to follow than the second. Often you only see afterwards why certain statements were given and proved. Two important lemmas, the two supplementary laws, which have to been shown in the course of the frst and second proof, come as a by-product of the third proof, without additional expenses.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
quadratic reciprocity law congruence Gauß finite field
Schlagwörter
(Deutsch)
quadratisches Reziprozitätsgesetz Kongruenz Gauß endlicher Körper
Autor*innen
Christiane Kroner
Haupttitel (Deutsch)
Weniger bekannte Beweise des quadratischen Reziprozitästgesetzes
Paralleltitel (Englisch)
Lesser-known proofs of the quadratic reciprocity law
Publikationsjahr
2016
Umfangsangabe
72 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Christoph Baxa
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC13320015
Utheses ID
39436
Studienkennzahl
UA | 190 | 482 | 406 |