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Matrix stability concepts for the Lotka-Voltera model
Ankica Dzijan Markovic
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Josef Hofbauer
DOI
10.25365/thesis.45530
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24370.32699.364264-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Im Gebiet der Angewandten Mathematik, speziell in der Mathematischen Ökologie, ist ein Modell von besonderer Bedeutung, nämlich das Lotka-Volterra Modell. Um Einblicke in die Dynamik einer biologischen Gemeinschaft von n interagierenden Spezies zu erhalten, können wir die asymptotische Stabilität von Fixpunkten des linearisierten Systems untersuchen. Ein anderer Zugang um ein solches System mit Wechselwirkungen innerhalb derselben Spezies und zwischen verschiedenen Spezies, zu untersuchen, ist es, Aussagen über die Stabilität aufgrund der bloßen Matrixeinträge machen zu können.
Im ersten Kapitel ist eine kurze Einführung von fundamentalen Definitionen und Sätzen aus dem Gebiet der Differentialgleichungen zu finden. In den Kapiteln zwei und drei wiederholen wir die Stabilität von Fixpunkten. In Kapitel vier wird das Lotka-Volterra Modell vorgestellt und das zweidimensionale Konkurrenz Modell untersucht. In Kapitel fünf werden die Matrixstabilitätskonzepte VL-Stabilität, totale Stabilität, D-Stabilität und die P-Matrizen eingeführt. Wir werden die Beziehungen und logischen Implikationen zwischen diesen Konzepten untersuchen. In Kapitel sechs geben wir Beispiele für das dreidimensionale Lotka-Volterra Modell und untersuchen die Dynamik des Systems. In Kapitel sieben stellen wir eine Methode vor um eine 3 x 3 Matrix auf totale Stabilität zu untersuchen.
In Kapitel acht beschäftigen wir uns mit der Frage wann eine dreidimensionale Matrix VL-stabil ist.
Abstract
(Englisch)
In the area of applied mathematics, particularly in mathematical ecology, one model is of main importance and that is the Lotka-Volterra model. In order to gain more understanding in the field of theoretical population dynamics in a biological community of n interacting species, we can analyse the asymptotic stability in the linear approximation of a system of ODEs.
Another motivation for the analysis of such a multi-component system (i.e., intra- and interspecific relations in a community of interacting species) is to obtain insight in the stability of the system by the very definition of its matrix entries.
In the first chapter we concern ourselves with a short introduction to dynamical systems. In chapter two and three we recap the stability theory of fixed points. In chapter four we give an introduction to the Lotka-Volterra equation and analyse the two dimensional system. In chapter five we introduce matrix stability concepts, special notions like VL-stability, total stability, D-stability and P-matrix arise in this context. We turn our attention to the relations and logical implications between these concepts. In chapter six we give examples of the three dimensional Lotka-Volterra model and analyse the dynamical behaviour. In chapter seven we introduce a method to verify if a given 3 x 3 matrix is totally stable.
In chapter eight we are investigating the conditions for VL-stability of a three dimensional matrix.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Lotka-Volterra model Volterra-Ljapunov stability VL-stability diagonal stability total stability D-stability P-matrix
Schlagwörter
(Deutsch)
Lotka-Volterra Modell Volterra-Ljapunov Stabilität VL-Stabilität Diagonale Stabilität Totale Stabilität D-Stabilität P-Matrix
Autor*innen
Ankica Dzijan Markovic
Haupttitel (Englisch)
Matrix stability concepts for the Lotka-Voltera model
Paralleltitel (Deutsch)
Matrix Stabilitätskonzepte für das Lotka-Volterra Modell
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
60 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Josef Hofbauer
AC Nummer
AC14508000
Utheses ID
40287
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |