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On varieties in power series spaces
Sebastian Woblistin
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Bernhard Lamel
Mitbetreuer*in
Herwig Hauser
DOI
10.25365/thesis.45829
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24618.91109.467361-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte der Geometrie von so genannten arquilen Varietäten, welche die Lösungsmengen Y(f) von impliziten Potenzreihengleichungen f(x,y(x)) = 0 sind, untersucht. Diese Gleichungen enstsprechen einem unendlichen System an polynomialen Gleichungen F_{i}(y_{alpha}) = 0 in den Koeffizienten y_{alpha} von y(x). Der übliche Zugang, der beispielsweise in der Theorie der arc spaces gewählt wird, ist, die Lösungsmenge Y(f) als die Menge der abgeschloßenen Punkte des durch die Koeffizientenpolynome definierten unendlich-dimensionalen Schemas zu betrachten. Der Nachteil dieses Ansatzes ist jedoch, dass geometrische Konzepte wie das der Regularität im Unendlichdimensionalen nicht mehr zu Verfügung stehen. Stattdessen werden in dieser Arbeit Potenzreihen y(x) mit (nicht-abgeschloßenen) Punkten P_{y} des Spektrums von C[|x,y|] identifiziert, wodurch es möglich ist, Begriffe von Regularität von arquilen Varietäten zu definieren und mithilfe geeigneter Jakobi-Kriterien zu charakterisieren. Geometrisch gesehen entspricht die Regularität (im Falle einer einzelnen unabhängigen Variable) der Glattheit der Lösungsmenge in dem Sinne, dass eine Umgebung der Varietät zu einer Umgebung in einem freien Potenzreihenmoduls isomorph ist.
Abstract
(Englisch)
The main objective of this thesis is to understand certain aspects of the geometry of the set of solutions Y(f) to an implicit power series equation f(x,y(x)) = 0. This equation corresponds to an infinite system of polynomial equations F_{i}(y_{\alpha}) = 0 in the coefficients y_{\alpha} of y.
The usual approach to understand these systems is to consider Y(f) as the closed points of the infinite-dimensional scheme defined by the coefficient polynomials, which has the disadvantage that finite-dimensional geometrical concepts such as regularity are not available. Instead, in this work we identify power series y(x) with (non-closed) points y(x) of the spectrum of C[|x,y|], which makes it possible to define notions of regularity and characterize these notions accordingly with adopted versions of the Jacobian criterium. Geometrically, the regularity of an arquile variety (in the case of a single independent variable) corresponds to the smoothness of the variety in the sense (of differential geometry) that locally the arquile variety is isomorphic to a neighborhood of a free power series module.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Algebraic Geometry/ Complex Analysis Commutative Algebra Infinite-dimensional Geometry
Schlagwörter
(Deutsch)
Algebraische Geometrie/ Komplexe Analysis Kommutative Algebra Unendlichdimensionale Geometrie
Autor*innen
Sebastian Woblistin
Haupttitel (Englisch)
On varieties in power series spaces
Paralleltitel (Deutsch)
Varietäten in Potenzreihenräumen
Publikationsjahr
2016
Umfangsangabe
iii, 121 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Dorin Popescu ,
Gerd Pfister
AC Nummer
AC14536864
Utheses ID
40548
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |