Detailansicht
Theoretical studies of nonlinear water waves
Ronald Quirchmayr
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Adrian Constantin
DOI
10.25365/thesis.45967
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30453.73308.736058-2
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation, welche sich grob in zwei Teile aufgliedert, beleuchtet verschiedene Aspekte nichtlinearer Wasserwellen. Zunächst wird eine Modellgleichung betrachtet, die sich von den inkompressiblen Euler-Gleichungen samt zugehörigen freien Randbedingungen zur Beschreibung von gleichlaufenden Wasserwellen über flachem Grund unter dem Einfluss der Gravitationskraft ableiten lässt. Diese Modellgleichung enthält kubische Nichtlinearitäten und
beschreibt die Ausbreitung der horizontalen Strömungskomponente des Geschwindigkeitsfeldes an einer bestimmten fixen Wassertiefe unterhalb einer Flachwasserwelle mit großer Amplitude. Wir beweisen die zeitlich lokale Wohlgestelltheit des zugehörigen Anfangswertproblems im natürlichen Sobolev-Setting mithilfe von Katos Halbgruppentheorie für quasilineare hyperbolische Evolutionsgleichungen. Außerdem zeigt sich, dass die Lösung ihre Regularität im Sinne des Sobolevexponenten von den Anfangsdaten erbt. Wir verwenden diese Eigenschaft, um ein Kriterium für die zeitliche Dauer der Existenz von Lösungen abzuleiten, welches eine physikalische Interpretation zulässt. In einer weiteren Arbeit, an der Anna Geyer mitwirkte, untersuchen wir Wanderwellen ("traveling waves") ebendieser Modellgleichung hinsichtlich qualitativer Merkmale. Durch die Anwendung von Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme gelingt eine Klassifikation sämtlicher Wanderwellen. Dabei stoßen wir auf neuartige Lösungen, etwa gezackte kompakt getragene solitäre Wanderwellen oder periodische Wanderwellen mit spitzen Wellenbergen und Wellentälern, welche nicht als Lösungen von Modellgleichungen für Flachwasserwellen mit moderater Amplitude, wie der Camassa-Holm Gleichung, auftreten.
Im zweiten Teil wird die Dynamik gewisser Ozeanwellen untersucht. Wir analysieren Strömungsfelder ohne Vorizität unterhalb einer symmetrischen, sich periodisch ausbreitenden Wanderwelle im Bereich des Äquators hinsichtlich qualitativer Aspekte und beschreiben die Formen der Partikelbahnen. Im Unterschied zum ersten Teil wird direkt das zugrundeliegende physikalische Modell behandelt, welches im Falle von Ozeanwellen den Einfluss der Erdrotation berücksichtigt. Es werden keine Näherungsmodelle verwendet, wodurch auf eine Beschränkungen der Größenordnung der Wellenamplitude verzichtet werden kann. Wir zeigen, dass sowohl die qualitativen Eigenschaften der Strömungsfelder, als auch die Formen der Partikelbahnen ähnlich sind wie im Falle von klassischen Stokes-Wellen. Schließlich behandeln wir gewisse Aspekte einer geschichteten
Meeresströmung im äquatorialen Bereich.
Abstract
(Englisch)
In this doctoral thesis we investigate several aspects of nonlinear water waves. The
exposition is divided into two parts.
The first part is concerned with a model equation which we derive from the classical
water wave problem for unidirectional water waves, where the divergence-free flow
beneath the free water surface over a flat bed is governed by the incompressible Euler
equations, with gravity acting as the only external force. This model equation describes
the evolution of the horizontal velocity component of the flow field evaluated at a specific
depth within a shallow water regime, allowing for waves of large amplitude. We study
the corresponding Cauchy problem and establish local well-posedness in the natural
Sobolev setting by using Kato’s semigroup approach for quasilinear hyperbolic evolution
equations. Additionally we prove that the regularity of the solution of the Cauchy
problem inherits the regularity of the initial data in terms of the Sobolev exponent.
This enables us to derive a blow-up criterion for solutions, which allows a meaningful
interpretation from a physical point of view. In a second paper, joint work with Anna
Geyer, we investigate the traveling wave solutions of this highly nonlinear model equation.
By applying qualitative methods from the theory of dynamical systems, in particular
tools from integrable planar systems, we establish a full classification of all traveling
waves. Thereby we discover completely new types of traveling waves, e.g. peaked solitary
waves with compact support and periodic traveling waves with peaked crests and troughs,
which do not appear as solutions of shallow water equations for waves of moderate
amplitude such as the well-known Camassa-Holm equation.
In the second part, we present some investigations of ocean flow dynamics. We give a
detailed qualitative analysis of the irrotational velocity field beneath smooth symmetric
periodic traveling waves in the equatorial region and describe the pattern of the paths of
particles beneath such waves. Our analysis, which makes use of methods from complex
and harmonic analysis, does { in contrast to the first part { not rely on approximations.
Thus we do not need to impose restrictions on the amplitude of the wave. The underlying
governing equations differ slightly from the classical water wave problem: the Euler
equations are extended by linear terms accounting for the effects of the earth’s rotation
near the Equator, which become relevant for large ocean waves. We show that this
perturbation does not alter the qualitative properties of the flow field. Also the particle
paths are similar to the ones of the flows beneath classical Stokes waves. Finally we
discuss some aspects of a stratified wind-induced current field with eddy viscosity in the
equatorial region.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Nonlinear water waves nonlinear partial differential equations shallow water waves traveling waves phase plane analysis equatorial flows particle paths
Schlagwörter
(Deutsch)
Nichtlineare Wasserwellen nichtlineare partielle Differentialgleichungen Flachwasserwellen Wanderwellen Phasenraumanalyse äquatoriale Strömungen Partikelpfade
Autor*innen
Ronald Quirchmayr
Haupttitel (Englisch)
Theoretical studies of nonlinear water waves
Paralleltitel (Deutsch)
Theoretische Studien nichtlinearer Wasserwellen
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
103, 6 ungezählte Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jonatan Lenells ,
David Henry
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC14500001
Utheses ID
40681
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |