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The distribution of stock returns and its implications
Richard Artner
Art der Arbeit
Magisterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Magisterstudium Statistik
Betreuer*in
Erhard Reschenhofer
DOI
10.25365/thesis.46235
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-27263.66362.115059-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die täglichen Renditen des Standard & Poor`s 500 Aktienindexes vom 20.11.1950 bis zum
18.11.2016 und die des Nikkei 225 Aktienindexes vom 5.01.1984 bis zum 7.12.2016 wurden auf
Herz und Nieren untersucht, und zwar mit einem starken Fokus auf graphischen
Analysemethoden. Beide Datensätze haben sogenannte „fat-tails“ und Schätzungen des
standardisierten dritten (Schiefe) und vierten (Kurtosis) Moments sind problematisch da sich die
Schätzwerte je nach Zeitperiode stark unterscheiden und von einigen wenigen Tagen mit
starken Kursschwankungen maßgeblich beeinflusst werden. Die durchgeführten
parametrischen Analysen legen zudem den Schluss nahe, dass kein viertes Moment existiert.
Verschiedene symmetrische und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurden an die beiden
Datensätze angepasst um weitere Aufschlüsse über das Verhalten der Renditen zu gewinnen.
Aufgrund der Erkenntnis, dass sich positive und negative Renditen unterscheiden, wurden des
Weiteren artifizielle Verteilungen durch ein separates Anpassen von Verteilungen an die oberen
und unteren 50% der Daten kreiert. Die (drei Parameter) studentsche t-Verteilung beschreibt die
Renditen der beiden Aktienindexe recht gut und aus diesem Grund wurden mithilfe der
Programmiersprache R unterschiedlich große Stichproben aus unabhängigen und identisch
t-verteilten Zufallsvariablen, mit Freiheitsgraden aus dem Intervall [2.9, 3.8], erzeugt. Fünf
essentielle statistische Größen, nämlich Erwartungswert, Median, Varianz, 99% Quantil und
99.9% Quantil wurden anschließend mittels parametrischer Maximum-Likelihood-Methode
sowie nicht-parametrisch geschätzt. In weiterer Folge wurde die Genauigkeit der Schätzungen
mithilfe der mittleren absoluten Abweichung ermittelt. Die parametrischen Schätzungen waren
für eine Stichprobengröße von 100 nicht zufriedenstellend, da die Schätzungen der
Freiheitsgrade teilweise sehr schlecht waren und in manchen Iterationen sogar die Maximierung
der Likelihood scheiterte. Ab einer Stichprobengröße von 1000 zeigte sich, dass die
parametrischen Schätzungen genauer als die nicht-parametrischen sind. Die nicht-
parametrischen Quantils- und Varianzschätzer, also die Stichprobenquantile sowie die
Stichprobenvarianz, sind rechts-schief und weniger symmetrisch als die entsprechenden
parametrischen Schätzer, insbesondere bei einer Stichprobengröße von 100 oder 500. Die
Stichprobenquantile (99% und 99.9%) profitieren stärker von einer Erhöhung der
Stichprobengröße und weniger stark von einer Verringerung der Freiheitsgrade als die
Stichprobenvarianz.
Abstract
(Englisch)
The daily returns of the S&P 500 index from 20.11.1950 to 18.11.2016 and the Nikkei 225 index
from 5.01.1984 to 7.12.2016 are analyzed in great depth with a focus on graphical analyses.
The analyses revealed that both datasets have fat-tails and that estimations of skewness and
kurtosis are problematic because the estimates vary widely in different time periods and are
significantly influenced by just a few days with strong index fluctuations. Parametric analysis of
the tails clearly suggests that the tails of stock returns are so thick that no 4 th moment exists.
Various symmetric continuous probability distributions were fitted to the datasets and, building
on the assessment that the properties of negative and positive returns differ, artificial
distributions were constructed out of different fits for the left and the right tail for both indices.
The three parameter Student`s t distribution fits both datasets reasonable well and, hence,
samples of different sizes of independent and identically Student`s t distributed random
variables with shape parameters in the range of [2.9, 3.8] were simulated. Five important
quantities, namely mean, median, variance, 99% quantile and 99.9% quantile were then
estimated parametrically via maximum likelihood as well as nonparametrically and the mean
absolute deviation was computed for each estimator in each scenario. The parametric
estimations did not turn out to be satisfactory for a sample size of 100 because the estimations
of the shape parameter occasionally deviated strongly from the true parameter and the
maximization of the likelihood even failed in some of the iterations. For sample sizes larger than
500, the parametric estimates are clearly superior to their nonparametric counterparts. The
nonparametric quantile and variance estimates are much more right-skewed than their
parametric counterparts, particularly for smaller sample sizes. The sample quantiles (99% and
99.9%) benefit more from an increase in sample size and are harmed less from a decrease of
the shape parameter (i.e. a thicker tail) than the sample variance.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Fat-tails Mean Absolute Deviation Simulation Study Stock Returns Student`s t Distribution
Schlagwörter
(Deutsch)
Fat-tails Mittlere absolute Abweichung Simulationsstudie Aktienrenditen Studentsche t-Verteilung
Autor*innen
Richard Artner
Haupttitel (Englisch)
The distribution of stock returns and its implications
Paralleltitel (Deutsch)
Die Verteilung von Aktienrenditen und ihre Auswirkungen
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
57 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Erhard Reschenhofer
AC Nummer
AC13739451
Utheses ID
40908
Studienkennzahl
UA | 066 | 951 | |