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Poisson transforms for differential forms adapted to the flat parabolic geometries on spheres

Christoph Harrach

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)

Betreuer*in

Andreas Cap

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DOI

10.25365/thesis.46417

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-25408.13339.114064-9

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Das Ziel dieser Dissertation ist die Einführung eines neuen Zugangs zu Poissontransformationen zwischen vektorbündelwertigen Differentialformen auf homogenen parabolischen Geometrien $G/P$ und vektorbündelwertigen Differentialformen auf dem entsprechenden Riemannschen symmetrischen Raum $G/K$. Explizit sind diese Abbildungen gegeben als Integraloperatoren, die zu $G$-invarianten Differentialformen auf einem homogenen Raum von $G$ assoziiert sind, und damit vollständig durch invariante Elemente in einer endlich dimensionalen Darstellung einer reduktiven Lie Gruppe bestimmt. Weiters erlaubt der auf den Differentialformenkalkül zugeschnittene Ansatz dass Kompositionen von Poissontransformationen mit bestimmten $G$-äquivarianten Differentialoperatoren wieder als solche ausgedrückt werden können. Dadurch können wir Operatoren mit vorgegebenen Kompatibilitätsbedingungen durch Berechnungen auf dem Level der zugehörigen Darstellungen explizit konstruieren. Als Beispiel kreieren wir eine universelle Familie von Poissontransformationen $\Phi_k$ zwischen reellwertigen Differentialformen, deren Bilder kogeschlossen sind und die sich für glatte Funktionen auf die klassische Transformation reduzieren. Danach wenden wir unseren Ansatz auf den Fall $G = \SO(n+1,1)_0$ an und zeigen, dass die Operatoren $\Phi_k$ Kettenabbildungen zwischen den de Rham Sequenzen auf der konformen Sphäre und dem reell hyperbolischen Raum sind. Zusätzlich präsentieren wir eine explizite Konstruktion einer Familie von Poissontransformation zwischen Differentialformen mit Werten in den jeweiligen Standardtraktorbündeln, die $G$-äquivariante Kettenabbildungen zwischen der zugehörigen BGG-Sequenz auf $G/P$ und dem getwisteten de Rham Komplex auf $G/K$ induzieren. Ferner sind die Bilder von gewichteten Differentialformen unter diesen Operatoren Eigenformen für einen kovarianten Laplace Operator. Schlussendlich betrachten wir den Fall $G = \SU(n+1,1)$, wo wir eine feinere Zerlegung des Raumes der Poissonkerne erhalten, indem wir die Kähler Struktur auf dem komplex hyperbolischen Raum und die CR-Struktur auf der zugehörigen Randsphäre $G/P$ ausnutzen. Dies ermöglicht es in Folge Poissontransformationen zwischen komplexwertigen Differentialformen zu konstruieren, die zu $G$-äquivarianten Operatoren auf Schnitten der komplexifizierten Homologiebündel auf der CR-Sphäre faktorisieren. Im weiteren Verlauf werden diese dazu verwendet äquivariante Kettenabbildungen zwischen dem reellwertigen BGG-Komplex auf $G/P$ und dem de Rham Komplex auf $G/K$ zu definieren.

Abstract

(Englisch)

The aim of this thesis is to introduce a new approach on Poisson transforms between vector bundle valued differential forms on a homogeneous parabolic geometry $G/P$ and vector bundle valued differential forms on the corresponding Riemannian symmetric space $G/K$. Explicitly, these transforms are given by $G$-equivariant integral operators associated to a $G$-invariant differential form on a homogeneous space of $G$ as its kernel, hence they are fully determined by invariant elements in a finite dimensional representation of a reductive Lie group. In addition, since this approach is tailored to the calculus of differential forms, we can express compositions of Poisson transforms with several $G$-equivariant differential operators again as Poisson transforms. In this way, we can explicitly design such operators with prescribed compatibility conditions via computations on the level of the corresponding representations. As a demonstration, we will construct a universal family of Poisson transforms $\Phi_k$ between real valued differential forms, whose images are coclosed and which reduces to the classical transform for smooth functions. Afterwards, we apply our method to $G = \SO(n+1,1)_0$ and prove that the operators $\Phi_k$ are chain maps between the de Rham sequences on the conformal sphere and on the real hyperbolic space, respectively. Furthermore, we give an explicit construction of a family of Poisson transforms between standard tractor bundle valued differential forms, which factor to $G$-equivariant chain maps between the corresponding BGG-sequence on $G/P$ and the twisted de Rham complex on $G/K$. Furthermore, the images of weighted differential forms under these operators are eigenforms for a covariant Laplace operator. Finally, we turn to the case $G = \SU(n+1,1)$, where we obtain a finer decomposition of the space of Poisson kernels by exploiting the K\"{a}hler structure on the complex hyperbolic space $G/K$ as well as the CR-structure on the corresponding boundary sphere $G/P$. This enables us to construct Poisson transforms between complex valued differential forms which descend to $G$-equivariant operators on sections of the complexified homology bundles on the CR-sphere. Subsequently, these will be used to design equivariant chain maps between the real valued BGG-sequence on $G/P$ and the de Rham sequence on $G/K$.

Autor*innen

Christoph Harrach

Haupttitel (Englisch)

Poisson transforms for differential forms adapted to the flat parabolic geometries on spheres

Paralleltitel (Deutsch)

Poissontransformationen für Differentialformen adaptiert für die flachen parabolischen Geometrien auf Sphären

Publikationsjahr

2017

Umfangsangabe

xi, 144 Seiten

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Andreas Cap

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse ,

31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie

AC Nummer

AC15002218

Utheses ID

41080

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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Schlagwörter