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Portfolio optimization: the dual optimizer and stability
Lingqi Gu
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Walter Schachermayer
DOI
10.25365/thesis.46436
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-25408.46130.539272-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Dissertation widmet sich den Portfolio-Optimierungsproblemen, die darauf abzielen, den erwarteten Nutzen des Endvermögens zu maximieren. Das Hauptinteresse dieser Arbeit besteht darin, unter Zuhilfenahme von Dualitätsergebnissen aus [KS99, CSW01, CSY17], die optimalen dualen Prozesse und ihre Eigenschaften genauer zu charakterisieren. Dies ist von besonderem Interesse, da diese Prozesse die Lösung des dualen Problems eindeutig festlegen.
Es wurde in [KS99] darauf hingewiesen, dass der eindeutige optimale duale Prozess im Allgemeinen kein lokales Martingal, sondern ein Supermartingal ist. Für Preisprozesse mit stetigen Pfaden zeigen wir, dass dieser optimale Prozess ein lokales Martingal ist. Im Fall einer Brownschen Filtration wird dieses Ergebnis auf Märkte mit beschränktem, zufälligem Kapital erweitert.
In Kapitel 3 untersuchen wir die optimalen dualen Prozesse für Märkte mit Transaktionskosten. Für Preisprozesse mit stetigen Pfaden und unter der Annahme, dass der Wertprozess aller optimalen Handelsstrategien streng positiv ist, zeigen wir, dass alle optimalen dualen Prozesse lokale Martingale sind. Weiterhin führen wir eine Stabiliätsanalyse für das Nutzenmaximierungsproblem durch. Wir beweisen, dass unter bestimmten Bedingungen die Folge der optimalen dualen Prozesse im Sinne von [CS16, Theorem 2.7] gegen einen optimalen dualen Prozess im Originalmarkt konvergiert. Dieser Grenzprozess ermöglicht es uns, einen Schattenpreis für den Originalmarkt zu konstruieren.
Im letzten Teil konzentrieren wir uns auf das Nutzenmaximierungsproblem in Märkten mit zufälligem Kapital und proportionalen Transaktionskosten. Unter der Zusatzannahme, dass ein solcher Markt mindestens ein Supermartingal-konsistentes Preissystem besitzt, beweisen wir, dass das Nutzenmaximierungsproblem eine eindeutige Lösung hat. Außerdem verifizieren wir die Existenz eines Schattenpreises unter der Annahme, dass Leerverkäufe verboten sind. Schließlich stellen wir ein Beispiel vor, das zeigt, dass Schattenpreise auch dann existieren können, wenn Leerverkäufe zulässig sind.
Abstract
(Englisch)
This dissertation is dedicated to the portfolio optimization problems which aim to maximize the expected utility value of the terminal wealth. The main concern is to study properties of optimal dual processes producing the unique dual optimizer by applying duality theorems provided in [KS99, CSW01, CSY17].
It has been pointed out in [KS99] that the unique optimal dual process is in general not a local martingale, but a supermartingale. Here, provided that the stock price process has continuous paths, we show the local martingale property of the unique optimal dual process. For Brownian filtration, this result is extended to frictionless markets with bounded random endowment. Mathematically, this result means that the countably additive part of the dual optimizer obtained in [CSW01] can be attained by a local martingale, which is a supermartingale deflator defined in [KS99].
In chapter 3, we consider markets with proportional transaction costs. Under the strict positivity of the liquidation value process of the optimal trading strategy and the continuity of the stock price process, we prove that all optimal dual processes are local martingales. Furthermore, we perform a stability analysis for the utility maximization problem by investigating the small perturbations of the initial investment and the investor's preference. The sequence of optimal dual processes is proved to converge in the sense of [CS16, Theorem 2.7] to an optimal dual process in the original market under some conditions. This limit process allows us to construct a shadow price for the original market.
In the last part, we focus on the utility maximization problem in markets with random endowment and proportional transaction costs. For such markets equipped with at least one supermartingale-consistent price system, we find the unique solution to the utility maximization problem and verify the existence of a shadow price under the no-short selling constraint. Finally, we present an example showing that the shadow prices may exist even if the no-short-selling constraint does not hold.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Portfolio optimization problem Utility maximization problem Dual optimizer Optimal dual process Shadow price Random endowment
Schlagwörter
(Deutsch)
Portfolio-Optimierungsproblem Utility-Maximierungsproblem Dual-Optimierer Optimaler Dualprozess Schattenpreis Zufällige Kapital
Autor*innen
Lingqi Gu
Haupttitel (Englisch)
Portfolio optimization: the dual optimizer and stability
Paralleltitel (Deutsch)
Portfolio-Optimierung: der Dual-Optimierer und die Stabilität
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
111 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Miklos Rasonyi ,
Nítar Touzi
Klassifikation
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC15002254
Utheses ID
41097
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |