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Splitting algorithms in Hilbert spaces and beyond
Sebastian Banert
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Radu Ioan Bot
DOI
10.25365/thesis.47327
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16686.76910.109673-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Monotone Inklusionen kommen oft und in natürlicher Weise vor, wenn Optimierungsprobleme oder Differentialgleichungen betrachtet werden, deshalb können Lösungsmethoden für sie benutzt werden, um viele praktische Aufgaben zu lösen. In dieser Arbeit geben wir einen Überblick über aktuelle Entwicklungen der Theorie der Proximal-Splitting-Algorithmen in einer in sich geschlossenen Weise mit einem Fokus auf den eigenen Beiträgen des Autors. Nachdem wir die Notation fixiert und vorbereitende Aussagen aufgeschrieben haben, auf die wir uns später beziehen werden, werden wir folgende Themen behandeln.
• Zuerst geben wir einen Überblick über die verfügbaren Typen von Splitting-Methoden, welche die Nullstellen der Summe zweier maximaler Operatoren bestimmen. Anschließend diskutieren wir verschiedene primal-duale Erweiterungen dieser Algorithmen, welche iterative Lösungen allgemeinerer Probleme erlauben. Wir geben außerdem eine umfassende Behandlung der Alternating direction method of multipliers (ADMM) für monotone Operatoren.
• Der zweite Schwerpunkt ist ein so genanntes Penaltyschema, bei dem wir eine Variationsungleichung lösen, deren zulässige Menge die Nullstellenmenge eines weiteren monotonen Operators ist. Wir zeigen die Konvergenz einiger Algorithmen, wobei der restriktionsdefinierende Operator über seinen Proximalpunkt ausgewertet wird.
• Als nächstes betrachten wir ein zeitstetiges dynamisches System im Geiste des Forward-Backward-Forward-Splitting-Algorithmus von Tseng.
• Außerdem relaxieren wir den Rahmen der Untersuchung von Hilberträumen auf vollständige metrische Räume mit der CAT(0)-Eigenschaft, die garantiert, dass viele der wünschenswerten Eigenschaften konvexer Funktionen und deren Proximalpunkten bewahrt werden. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften eines Backward-Backward-Algorithmus für konvexe Optimierung.
• Der letzte Teil ist der Anwendung des Proximal-Splitting-Prinzips auf Probleme gewidmet, welche die Minimierung einer Differenz konvexer Funktionen zum Ziel haben.
Abstract
(Englisch)
Monotone inclusions occur frequently and naturally when considering optimisation problems or differential equations, thus solution techniques for them can be used to tackle many real-world tasks. In this work, we cover recent developments in the theory of proximal splitting algorithms in a self-contained manner with a focus on the original work of the author. After fixing the notation and giving preliminary facts for further reference, we will deal with the following topics:
• First, we give an overview of the available types of splitting methods for finding zeros of the sum of two maximally monotone operators. In the following part, we discuss primal-dual extensions of these algorithms which allow the iterative solution of more general problems including a comprehensive treatment of a generalised version of the alternating direction method of multipliers for monotone operators.
• The second emphasis will be a so-called penalty scheme where we solve a variational inequality, whose feasible set is the set of zeros of another maximally monotone operator. We show convergence of several algorithms where the constraint-defining operator is evaluated by proximal steps.
• Next, we consider a continuous-time dynamical system in the spirit of the forward-backward-forward splitting algorithm of Tseng.
• Moreover, we relax the Hilbert space setting to that of a complete metric space with the CAT(0) property, which guarantees that many of the desirable properties of convex functions and their proximal points are preserved. We investigate the convergence properties of a backward-backward algorithm for convex optimisation.
• The last part is dedicated to the application of proximal splitting in the context of d.c. programming, i.e., minimising the difference of two convex functions.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Monotone operators Proximal splitting Convex optimisation
Schlagwörter
(Deutsch)
Monotone Operatoren Proximal splitting Konvexe Optimierung
Autor*innen
Sebastian Banert
Haupttitel (Englisch)
Splitting algorithms in Hilbert spaces and beyond
Paralleltitel (Deutsch)
Splittingalgorithmen in Hilberträumen und darüber hinaus
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
128 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jean-Christophe Pesquet ,
Russell Luke
AC Nummer
AC15023934
Utheses ID
41885
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |