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Hyperbolic systems of partial differential equations: Generalised solutions, regularity, and regularisations
Christian Spreitzer
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Dr.-Studium der Naturwissenschaften Physik
Betreuer*in
Günther Hörmann
DOI
10.25365/thesis.47514
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-28782.11413.729673-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit wird das Cauchy-Problem für symmetrisch hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen in Colombeau-Algebren verallgemeinerter Funktionen untersucht. Dieser Rahmen erlaubt es, Gleichungen mit hochsingulären Koeffizienten zu betrachten, für welche distributionelle Lösungskonzepte nicht anwendbar sind. Insbesondere können auch Koeffizienten, die die Delta-Distribution oder ihre Ableitungen enthalten, in mathematisch rigoroser Weise behandelt werden. Differentialgleichungen mit Koeffizienten dieses Typs treten in der Physik in verschiedensten Zusammenhängen auf. Die wesentlichen Methoden für die Existenz- und Eindeutigkeitsresultate dieser Arbeit basieren auf Energieabschätzungen auf linsenförmigen Teilgebieten der Raumzeit. Darüber hinaus wird die Regularität verallgemeinerter Lösungen analysiert, wenn die Koeffizienten als Regularisierungen nichtglatter Sobolev-Funktionen definiert sind. Es wird gezeigt, dass distributionelle Limiten verallgemeinerter Lösungen auch im Falle von Koeffizienten existieren, deren Regularitäten schwächer sind als jene, die in klassischen schwachen Lösungskonzepten verlangt werden. Weiters wird die Transformation einer skalaren Wellengleichung mit verallgemeinerten Funktionen als Koeffizienten in ein symmetrisch hyperbolisches System erster Ordnung untersucht. Die dafür benötigten mathematischen Operationen sind für Koeffizienten schwacher Regularität in einem distributionellen Rahmen nicht anwendbar. Als Beispiele aus der Physik werden die Dirac-Gleichung und die Klein-Gordon-Gleichung mit einer Delta-Distribution als Potential diskutiert. Auch die durch den Laplace-Beltrami-Operator einer nichtglatten Lorentz-Metrik definierte Wellengleichung wird behandelt. Ausgehend von der wichtigen Rolle von Faltungsregularisierungen bei der Einbettung von Distributionen in Colombeau-Algebren wird eine explizite Konstruktion von Schwartz-Funktionen mit vorgegebenen Momenten und einem in einer kegelförmigen Menge enthaltenen Träger entwickelt. Diese Konstruktion liefert maßgeschneiderte Glättungsfunktionen, die adaptierbare Konvergenz- und Trägerbedingungen erfüllen. Insbesondere ergeben sich daraus explizite Lösungen für Varianten des Stieltjes-Momentenproblems für rasch fallende glatte Funktionen.
Abstract
(Englisch)
We study the Cauchy problem for symmetric hyperbolic systems of partial differential equations in Colombeau algebras of generalised functions. This framework allows to consider equations with highly singular coefficients, for which distributional solution concepts fail. In particular, it is possible to deal with coefficients incorporating the delta distribution or its derivatives on a mathematically sound basis. Differential equations with coefficients of this type occur in various contexts in physics. The essential methods for our existence and uniqueness results are based on energy estimates on lens-shaped domains in space-time. We investigate the regularity of generalised solutions and their distributional limits when the coefficients are obtained as regularisations of non-smooth Sobolev functions. Specifically, we show that distributional limits of generalised solutions exist even for coefficient regularities below those required within classical weak solution concepts. Furthermore, we establish the transformation from scalar second-order wave equations to related symmetric hyperbolic first-order systems in a generalised functions setting, thereby obtaining existence and uniqueness results for second-order wave equations. The operations involved in the transformation algorithm are not defined classically for coefficients of low regularity. As applications in physics, we consider the Dirac equation and the Klein-Gordon equation with delta distribution potentials, as well as the wave equation derived from the Laplace-Beltrami operator of a Lorentzian metric of low regularity. Motivated by the significant role of convolution regularisations in the embedding of distributions in Colombeau algebras, we develop an explicit construction of Schwartz functions with prescribed moments and support contained in an arbitrarily chosen cone. Our construction provides tailor-made mollifiers, satisfying adaptable support and convergence conditions. In addition, it yields explicit solutions to several variants of the Stieltjes moment problem for rapidly decreasing smooth functions.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Hyperbolic partial differential equations Generalised functions Stieltjes moment problem for Schwartz functions
Schlagwörter
(Deutsch)
Hyperbolische partielle Differentialgleichungen Verallgemeinerte Funktionen Stieltjes-Momentenproblem für Schwartz-Funktionen
Autor*innen
Christian Spreitzer
Haupttitel (Englisch)
Hyperbolic systems of partial differential equations: Generalised solutions, regularity, and regularisations
Paralleltitel (Deutsch)
Hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen: Verallgemeinerte Lösungen, Regularität und Regularisierungen
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
v, 121 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Michael Oberguggenberger ,
James Vickers
AC Nummer
AC15010714
Utheses ID
42051
Studienkennzahl
UA | 091 | 411 | |