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Cayley-Catalan combinatorics of affine permutation groups
Robin Sulzgruber
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Christian Krattenthaler
DOI
10.25365/thesis.48233
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22768.10457.230769-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Bezeichnung Cayley-Catalan Kombinatorik bezieht sich auf das Studium von kombinatorischen Objekten, die von (verallgemeinerten) Catalan-Zahlen oder Cayley-Zahlen abgezählt werden. Beispiele für klassische kombinatorische Objekte, die in dieser Dissertation behandelt werden und in diese Kategorie fallen, sind Dyck-Pfade, Parkfunktionen oder Kernpartitionen. Alle diese Objekte sind eng verwandt mit der Gruppe affiner Permutationen und deren Inversionen. Viele der zu beobachtenden Konzepte lassen sich auf allgemeine affine Weyl-Gruppen übertragen. In diesem Zusammenhang besprechen wir den endlichen Torus, das Shi-Gefüge und nichtverschachtelte Parkfunktionen. Insbesondere definieren wir in den Fällen, in denen das zugrundeliegende kristallographische Wurzelsystem von klassischem Typ ist, neue kombinatorische Modelle für diese Objekte anhand von bezeichneten Gitterpunktwegen.
Verschiedene kombinatorische Statistiken wurden auf Catalan-Objekten definiert, um Polynomen, die in der Darstellungstheorie oder der algebraischen Geometrie auftauchen, eine kombinatorische Bedeutung zu verleihen. Zum Beispiel wurden Haglunds bounce-Statistik, Haimans dinv-Statistik und Armstrongs Schieflänge einer Zahlenpartition benutzt, um q-Analoga der Catalan-Zahlen zu definieren. Wir verfeinern und verallgemeinern bisher bekannte Symmetrieeigenschaften der Schieflänge. Die dinv-Statisik wird zu einer Statistik auf den Elementen des endlichen Torus verallgemeinert. Dies erlaubt es uns q-Catalan-Zahlen für beliebige Weyl-Gruppen zu definieren. Zusätzlich erweitern wir den Begriff von Shi-Tafeln, um eine Verallgemeinerung der Schieflänge für affine Weyl-Gruppen zu ermöglichen. Dadurch sind wir in der Lage, eine kombinatorische Definition von rationalen q-Catalan-Zahlen für Weyl-Gruppen anzugeben.
Eine wichtige Bijection in diesem Gebiet ist die sogenannte Zeta-Abbildung. Die ursprüngliche Zeta-Abbildung ist eine Bijektion auf der Menge der Dyck-Pfade, jedoch wurde sie einheitlich zu einer einer beliebigen Weyl-Gruppe zugehörigen Bijektion verallgemeinert. Wir beweisen, dass diese Bijektion die dinv-Statistik auf den Elementen des endlichen Torus auf das Gebiet der entsprechenden nichtverschachtelten Parkfunktion überführt. Weiters entwickeln wir in Analogie zu der Verbindung zu Dyck-Pfaden im Falle der symmetrischen Gruppe die Gitterpunktwegskombinatorik der Zeta-Abbildung für die unendlichen Familien von kristallographischen Wurzelsystemen. Dies führt zur Entdeckung von zwei neuen Bijektionen zwischen Abstimmungspfaden und Gitterpunktwegen, die einem Quadrat eingeschrieben sind, von welchen jeweils bekannt ist, dass sie von Zentralbinomialkoeffizienten abgezählt werden.
Abstract
(Englisch)
Cayley-Catalan combinatorics refers to the study of combinatorial objects counted by (generalised) Catalan numbers or Cayley numbers. Examples of classical combinatorial objects treated in this thesis that fall into this category are Dyck paths, parking functions and core partitions. These objects turn out to be closely related to the group of affine permutations and their inversions. Many involved ideas carry over to arbitrary affine Weyl groups. Exploring this connection we review the finite torus, the Shi arrangement and non-nesting parking functions. In particular, we define new combinatorial models for these objects in terms of labelled lattice paths when the crystallographic root system is of classical type.
Several combinatorial statistics on Catalan objects have been introduced to give combinatorial interpretations for polynomials appearing in representation theory or algebraic geometry. For example, Haglund's bounce-statistic, Haiman's dinv-statistic or Armstrong's skew-length of a partition have all been used to define q-analogues of Catalan numbers. We strengthen and expand on previously known symmetry properties of the skew-length statistic. The dinv-statistic is generalised to a statistic on the finite torus, allowing for a new definition of q-Catalan numbers for arbitrary Weyl groups. Furthermore, we extend the notion of Shi tableaux to give a generalisation of the skew-length statistic for affine Weyl groups, thereby enabling us to give a combinatorial definition of rational q-Catalan numbers for Weyl groups.
An important bijection in this field is the so called zeta map. The original zeta map is a bijection on the set of Dyck paths, however, it can be generalised to a uniform bijection attached to any Weyl group. We prove that this bijection transforms the dinv-statistic on elements of the finite torus into the area-statistic on non-nesting parking functions. Furthermore, we develop the lattice path combinatorics of the zeta map for the infinite families of crystallographic root systems in analogy to the connection to Dyck paths when the Weyl group is the symmetric group. This leads to the discovery of two new bijections between ballot paths and lattice paths in a square, both of which are known to be counted by central binomial coefficients.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
affine Weyl group Catalan numbers combinatorics parking functions
Schlagwörter
(Deutsch)
affine Weyl-Gruppe Catalan-Zahlen Kombinatorik Parkfunktionen
Autor*innen
Robin Sulzgruber
Haupttitel (Englisch)
Cayley-Catalan combinatorics of affine permutation groups
Paralleltitel (Deutsch)
Cayley-Catalan-Kombinatorik affiner Permutationsgruppen
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
ix, 121 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Christos Athanasiadis ,
Nantel Bergeron
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie ,
31 Mathematik > 31.29 Algebra: Sonstiges
AC Nummer
AC15001401
Utheses ID
42607
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |