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Causal optimal transport
theory and applications
Anastasiia Zalashko
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Walter Schachermayer
Mitbetreuer*innen
Beatrice Acciaio ,
Julio Daniel Backhoff Veraguas
DOI
10.25365/thesis.50057
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30902.61174.408366-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Dissertation beschäftigt sich mit kausalem optimalen Transport zwischen Verteilungen von stochastischen Prozessen. Die Kausalität bedeutet hier, eine physische relevante Zeiteinschränkung in das klassische optimale Transportproblem einzufügen, das die zulässige Menge von Transportplänen auf diejenigen beschränkt, die die Zuteilung von Masse in einer adaptierten (nicht antizipativen) Weise durchführen. Intuitiv kann man
sagen, dass die Beziehung zwischen Kausalplänen und adaptierten Prozessen die gleiche ist wie zwischen Transportplänen (Kantorowitsch) und klassischen Transportabbildungen (Monge).
Das Hauptziel der Dissertation ist, das volle Potential in Theorie sowie Modellierung kausaler optimaler Transportprobleme zu zeigen, indem ihre Struktur analysiert und ihre wesentlichen Merkmale hervorgehoben werden. Nach einem Abriss des klassischen optimalen Transport(problems) beginnt die Analyse mit dem endlich-dimensionalen/diskreten
Zeitfall, um die Fragen der Dualität und Charakterisierung von Optimierern zu lösen. Unter angemessenen Voraussetzungen wird das kausale Analogon zu Brenier-Abbildung des klassischen Falles als sogenannte Knothe-Rosenblatt-Umordnung identifiziert. Darüber hinaus wird eine Verbindung zwischen Transport-Informations-Ungleichungen und stochastischer Optimierung präsentiert. Als nächster Schritt werden angemessene Fortsetzungen der diskreten Zeit-Ergebnisse zur unendlich-dimensionalen/kontinuierlichen Zeitaufstellung erhalten. Hierbei ist zentral, dass die Projektionen/Grenzwert-Argumente die Wiederherstellung der Gleichheit zwischen kausalen Transporten mit Cameron-Martin-Kosten und der relativen Entropie für eine bestimmte Klasse von Prozessen ermöglichen.
Variation der zugrundeliegenden Filtrationen in der Definition der Kausalität ermöglicht es, eine neue Sichtweise über verschiedene Probleme im Zusammenhang mit
der Vergrößerung der Filtrationen und der Girsanov-Theorie in der stochastischen Analyse zu bilden. Insbesondere sind notwendige und hinreichende Bedingungen für eine Brownsche Bewegung als ein Semimartingal in einer vergrößerten Filtration erhalten zu bleiben, in Bezug auf bestimmte Minimierungsprobleme über Mengen von kausalen Transportplänen gegeben. Als Anwendung der oben genannten Ideen dient die Veranlagung des Wertes zusätzlicher Informationen in einigen klassischen stochastische Optimierungsprobleme.
Abstract
(Englisch)
This thesis studies the causal optimal transport problem between laws of stochastic processes. Causality here means to add a physically relevant time constraint into the classical optimal transport problem restricting the admissible set of transport plans to those that perform the allocation of mass in an adapted (nonanticipative) way. Intuitively, one can say that the relationship between causal plans and adapted processes is the same as that
between transport plans (Kantorovich) and classical transport maps (Monge).
The main aim of the thesis is to show the full theoretical potential and the modelling power of causal optimal transport problems by analysing their structure and by highlighting their significant features. After giving an outlook of classical optimal transport, the study starts with the finite-dimensional/discrete-time case, tackling the questions of duality and characterization of optimizers. Under appropriate assumptions, the causal
analogue to the Brenier map of the classical case is identified as the so-called Knothe-Rosenblatt rearrangement. Furthermore, a connection between transport-information inequalities and stochastic optimization is presented. As the next step, suitable extensions of the discrete-time results to the infinite-dimensional/continuous-time setup are obtained. Most importantly, the projections/limits arguments enable to recover the equality between causal transports with Cameron-Martin cost and the relative entropy for a specific class of processes.
Varying the underlying filtrations in the definition of causality allowed to provide a novel point of view on various problems related to enlargement of filtrations and Girsanov theory in stochastic analysis. In particular, necessary and suficient conditions for a Brownian motion to remain a semimartingale in an enlarged filtration, in terms of certain minimization problems over sets of causal transport plans, are given. As an application of these ideas, those are further used for estimation of the value of having additional information, for some classical stochastic optimization problems.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Optimal transport Causality Knothe-Rosenblatt rearrangement Transport-information inequalities Filtration enlargement Semimartingale decomposition
Schlagwörter
(Deutsch)
Optimaler Transport Kausalität Knothe-Rosenblatt Umordnung Transport-Informations-Ungleichungen Vergrößerung der Filtrationen Semimartingal Darstellung
Autor*innen
Anastasiia Zalashko
Haupttitel (Englisch)
Causal optimal transport
Hauptuntertitel (Englisch)
theory and applications
Paralleltitel (Deutsch)
Kausaler optimaler Transport : Theorie und Anwendungen
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
131 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Nizar Touzi ,
Alois Pichler
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC15023984
Utheses ID
44262
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |