Detailansicht

Wave packet dynamics in quantum mechnics and quantum cosmology

Natascha Riahi

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Physik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Dr.-Studium der Naturwissenschaften Physik

Betreuer*in

Helmut Rumpf

Volltext herunterladen
Volltext in Browser öffnen

DOI

10.25365/thesis.50159

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-23066.48955.120665-2

Link zu u:search

(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen, der erste betrifft die Quantenmechanik, im zweiten geht es um Quantenkosmologie. Beiden liegt das Bestreben zu Grunde, den Übergang von klassischer Dynamik zu quantenmechanischem Verhalten zu verstehen, und die auftretenden Abweichungen zu analysieren. Im ersten Teil liegt das Interesse bei der semiklassischen Phase der Zeitentwicklung, in der zwar noch keine Revivalph\"anomene, auftreten, aber dennoch bereits Quanteneffekte zum tragen kommen. Es wird die Methode der Laplacetransformation eingeführt, mit deren Hilfe man die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung angeben kann, wenn die Lösung der zeitunabhängigen Gleichung bekannt ist. Dabei ist es nicht nötig, Eigenzustände zu summieren oder das Pfadintegral zu Hilfe zu nehmen. Es werden die Propagatoren für das Kastenpotential, die Potentialstufe, das asymmetrische Kastenpotential (Kasten mit Ausgang) und die endliche Barriere hergeleitet. Die Lösungen geben anschaulich die Dynamik der Wellenpakete wieder und beinhalten das quantenmechanische Analogon zum klassischen Reflexionsprozess. Im Fall des Kastenpotentials gelingt es, die Spiegellösung herzuleiten, ohne dabei die Symmetrie des Potentials zu Hilfe zu nehmen. Es werden zwei Theoreme präsentiert, die zeigen, dass in einer bestimmten Phase der Zeitentwicklung nur bestimmte Terme der Spiegiellösung zum tragen kommen. Bei der Potentialsufe wird gezeigt, dass Wellenpakete, die eine niedrigere Enegrie als die der Stufe haben, nur während des Reflexionsprozesses in den verbotenen Bereich jenseits der Stufe hineinfließen. Der Reflexionskoeffizient für genügend konzentrierte Wellenpakete enspricht dem bekannten Wert für das zeitunabhängige Problem. Die Propagator für das asymmetrische Kastenpotential stellt sich als intuitive Kombination der Lösungen für das das gewöhnliche Kastenpotential und die Potentialstufe heraus. Dieses Ergebnis unterscheidet sich grundsätzlich von dem, was unter dem Gesichtspunkt der Darstellung als einer Kombination von Eigenzuständen erwartbar ist, da der Kasten mit Ausgang zum Unterschied vom unendlich hohen Potentialtopf sowohl gebundene als auch ungebundene Eigenzustände besitzt. Soweit bekannt ist, ist das Anfangswertproblem für das asymmetrische Kastenpotential noch nicht betrachtet worden. Bei der Untersuchung der endlichen Barriere ist es gelungen, den Hartmann Effekt in einem neuen Licht erscheinen zu lassen. Dieser besagt, dass für genügend dicke Barrieren die Tunnelzeit nicht von der Barrierendicke abhängt. Interessanter Weise ist es jedoch nicht ein Wellenpaket, das die Barriere verlässt, sondern es sind unendlich viele, die eines nach dem anderen hindurch tunneln. Die Zeit, die jedes davon für das Durchtunneln der Barriere benötigt hängt nicht von der Dicke der Barriere ab. Aber je dicker die Barriere ist, desto stärker werden die späteren Wellenpakete abgeschwächt. Um eine eindeutige Zeitentwicklung in der Quantenkosmologie zu erhalten, wurde die unimodulare Theorie anstatt der allgemeinen Relativitätstheorie als Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung verwendet. Diese Theorie ist praktisch ununterscheidbar von der allgemeinen Relativit\"atstheorie. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die kosmologische Konstante eine Erhaltungsgröße und nicht eine Naturkonstante ist. Da die unimodulare Theorie jedoch eine andere kanonische Struktur hat, führt sie auf eine Quantentheorie, die eine Zeitentwicklung zulässt. Im Rahmen des untersuchten Modells eines räumlich flachen Universums mit einem masselosen skalaren Feld werden Lösungen mit einer unitären Zeitentwicklung konstruiert. Im Gegensatz zu den geläufigen quantenmechanischen Modellen (wie den im ersten Teil untersuchten), bekommen die Lösungen in diesem Modell mit der Zeit in einem gewissen Sinn immer mehr klassischen Charakter. Außerdem ist es gelungen das Analogon zu den de Sitter Lösungen zu finden, indem bestimmte Symmetriebedingungen an die Lösungen gestellt werden. In einem expliziten Beispiel werden Lösungen präsentiert, die über die Singularität bei $t=0$ hinaus fortgesetzt werden können, wobei die minimale Ausdehnung das Universums endlich bleibt.

Abstract

(Englisch)

This work consists of two parts, one concerning quantum mechanics, the other quantum cosmology. They have in common the aim to analyze and understand the transition between quantum and classical behaviour and the deviations of quantum dynamics from classical motion. In the first part we focus on the semiclassical phase of time evolution before revivals occur but when quantum effects already come into play. Here we introduce the method of Laplace transformation that gives the solution of the time-dependent Schr\"odinger equation in terms of the initial wave function if the solution of the time-independent equation is known. The solution is obtained without summing up eigenstates, nor do we need the path integral. We derive the propagators for the infinite square well, the potential step, the asymmetric square well (box with exit) and the finite barrier. The solutions give a direct insight into the wave packet evolution and contain the quantum analogue of classical transmission and reflection processes. In the case of the infinite square well we reproduce the mirror solution in a straightforward way without referring to the special symmetry of the system. We state two theorems that point out that at a certain stage of time evolution only a certain number of terms of the mirror solution is relevant. We find that a wave function with energy lower than the potential step will swap into the classically forbidden region only during the reflection process. Moreover we show that for sufficiently peaked wave packets the reflection probability can be expressed in terms of the corresponding time-independent expression. The exact solution of the asymmetric square well turns out to be an intuitive combination of the solutions of the infinite square well and the potential step. This is remarkable since from the point of view of the characterization in terms of energy eigenstates the box with exit differs fundamentally from the infinite square well because there are bound and unbound eigenstates. As far as we know the initial value problem of this model was not considered before. In the case of the finite barrier we shed new light on the so-called Hartmann effect, predicting that for sufficiently thick barriers the tunneling time becomes independent of the thickness of the barrier. Remarkably, what comes out of the barrier is not a single wave packet, but infinitely many, one after the other. The time each of these wavepackets needs for the tunneling is completely independent of the thickness of the barrier. But for thicker barriers, the later wavepackets are much more attenuated. In order to obtain an unambiguous time evolution in quantum cosmology, we decided to choose unimodular gravity instead of general relativity in its common form as the starting point for the canonical quantization procedure. This theory is practically indistinguishable from general relativity, with the only difference that the cosmological constant is a conserved quantity instead of a constant of nature. But since the theory has a different canonical structure it leads to a quantum theory that admits a time evolution. We investigate the toy model of a massless scalar field in a spatially flat universe and construct solutions with a unitary time evolution. Unlike common quantum-mechanical systems (as the ones considered in the first part) the solutions become classical in a certain sense in the late phase of time evolution. The quantum analogue of the special case of de Sitter solutions is obtained by assuming special symmetries of the wave function. The solutions provided in an explicit example can be continued beyond the singularity at $t=0$, passing a finite minimal extension of the universe.

Autor*innen

Natascha Riahi

Haupttitel (Englisch)

Wave packet dynamics in quantum mechnics and quantum cosmology

Paralleltitel (Deutsch)

Die Dynamik von Wellenpaketen in Quantenmechanik und Quantenkosmologie

Publikationsjahr

2017

Umfangsangabe

118 Seiten : Illustrationen, Diagramme

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Helmut Rumpf

Klassifikationen

33 Physik > 33.10 Theoretische Physik: Allgemeines ,

33 Physik > 33.21 Relativität, Gravitation ,

33 Physik > 33.23 Quantenphysik

AC Nummer

AC15151626

Utheses ID

44353

Studienkennzahl

UA | 091 | 411 | |

Detailansicht

Abstracts

Schlagwörter