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Characterizations of Gabor Frames
Sarah Koppensteiner
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Karlheinz Gröchenig
DOI
10.25365/thesis.50275
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13766.13106.763063-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Gaborframes liefern stabile, diskrete Zeit-Frequenz-Darstellungen in
L^2(R^d). Es ist daher von großem Interesse, Paare
(g, Λ), bestehend aus einer L^2-Funktion g und einem
Zeit-Frequenz-Gitter Λ, zu bestimmen, die einen Frame erzeugen.
Die Fortschritte der Gaboranalysis der letzten dreißig Jahre
lieferten zahlreiche Charakterisierungen der Frameungleichung
für Gaborsysteme. Wir geben eine vollständige Darstellung
bekannter Resultate. Die Neuheit liegt in der systematischen
Herangehensweise: Das zentrale Resultat ist die Dualitätstheorie
für Gaborframes über beliebige Gitter. Wir entwickeln daher die
Dualitätstheorie zuerst und erhalten dann daraus alle
Charakterisierungen für separable Gitter als einfache Folgerungen.
Das wohlbekannte Kriterium von Ron und Shen folgt durch ein einfaches
Fourierreihenargument. Im Fall eines rationalen Gitters liefert eine
weitere Periodisierung die Resultate von Zeevi und Zibulski, in denen
die Frameeigenschaft mit den Spektraleigenschaften einer Familie von
endlichdimensionalen Matrizen verknüpft wird.
Für M^1-Fenster liefert die Kombination der Dualitätstheorie mit
Wieners Lemma ein Dutzend zusätzliche Charakterisierungen ohne
Ungleichungen, das heißt als Eigenschaften der zum Gaborsystem
gehörenden kanonischen Operatoren.
Abstract
(Englisch)
Gabor frames provide stable, discrete time-frequency representations
in L^2(R^d). It is therefore of great interest to determine pairs
(g, Λ), consisting of an L^2-function g and a
time-frequency lattice Λ, that generate a frame.
The advances of Gabor analysis in the last thirty years led to
numerous characterizations of the frame inequality for Gabor systems.
We give a comprehensive account of known results. The novelty lies in
the systematic approach: The central result is the duality theory for
Gabor frames over arbitrary lattices. We therefore develop the
duality theory first and then obtain all characterizations for
separable lattices as easy consequences. The well-known criterion of
Ron and Shen follows by a simple Fourier series argument. In the case
of a rational lattice, further periodization yields the results of
Zeevi and Zibulski, where the frame property is linked to the spectral
properties of a family of finite dimensional matrices.
For M^1-windows, the combination of the duality theory with Wiener's
lemma yields a dozen additional characterizations without
inequalities. All of them are expressed as properties of the
canonical operators associated to the Gabor system.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Gabor Frames Lattice Short-Time Fourier Transform
Schlagwörter
(Deutsch)
Gaborframes Gitter Kurzzeit-Fouriertransformation
Autor*innen
Sarah Koppensteiner
Haupttitel (Englisch)
Characterizations of Gabor Frames
Paralleltitel (Deutsch)
Charakterisierungen von Gaborframes
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
vii, 87 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Karlheinz Gröchenig
AC Nummer
AC15025227
Utheses ID
44456
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |