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Isomorphisms of algebras of smooth and generalized functions
Annegret Burtscher
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.4988
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29062.80819.650154-2
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Ein bekanntes Resultat in der Theorie kommutativer Banachalgebren besagt, dass zwei lokal kompakte Räume $X$ und $Y$ genau dann homöomorph sind, wenn die $C^*$-Algebren der stetigen Abbildungen $C_0(X)$ und $C_0(Y)$ algebraisch isomorph sind. Es ist unser Ziel, analoge Aussagen auch für Algebren glatter Abbildungen bzw. Colombeaualgebren zu zeigen. Die zugrundeliegenden topologischen Räume werden in diesem Fall endlich-dimensionale glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ sein, die Hausdorff sind und das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Wir werden sehen, dass nichttriviale multiplikative lineare Funktionale auf $C^{\infty}(X)$ bzw. $\mathcal{G}(X)$ mit Punkten in $X$ bzw. kompakt getragenen verallgemeinerten Punkten $\widetilde{X}_c$ identifiziert werden können. Zudem werden wir beweisen, dass Algebraisomorphismen $C^{\infty}(X) \rightarrow C^{\infty}(Y)$ bereits durch Diffeomorphismen von $Y$ nach $X$ charakterisiert sind. Letzteres gilt sogar für Mannigfaltigkeiten, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen. Im Zusammenhang mit Colombeau verallgemeinerten Funktionen führt uns diese Fragestellung zu kompakt beschränkten verallgemeinerten Funktionen $\mathcal{G}[Y,X]$, welche die Algebraisomorphismen $\mathcal{G}(X) \rightarrow \mathcal{G}(Y)$ wiederum komplett beschreiben.
Abstract
(Englisch)
A well-known result in commutative Banach algebra theory states that two locally compact spaces $X$ and $Y$ are homeomorphic if and only if the $C^*$-algebras of continuous functions $C_0(X)$ and $C_0(Y)$ are algebraically isomorphic. Our aim is to construct a similar theory for algebras of smooth functions and Colombeau generalized functions. The underlying topological spaces are finite-dimensional smooth manifolds $X$ and $Y$ which are Hausdorff and second countable. We find that the non-zero multiplicative linear functions on $C^{\infty}(X)$ and $\mathcal{G}(X)$ can be identified with the points in $X$ and the compactly supported generalized points $\widetilde{X}_c$, respectively. Moreover, we prove that algebra isomorphisms $C^{\infty}(X) \rightarrow C^{\infty}(Y)$ are characterized by diffeomorphisms from $Y$ to $X$, a fact that holds even for manifolds that are not second countable. The same question for Colombeau algebras leads to c-bounded generalized functions $\mathcal{G}[Y,X]$ which again completely determine the algebra isomorphisms $\mathcal{G}(X) \rightarrow \mathcal{G}(Y)$.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
isomorphisms isomorphisms of algebras smooth functions generalized functions Colombeau algebras manifolds differential geometry semi-Riemannian manifolds
Schlagwörter
(Deutsch)
Isomorphismen Algebraisomorphismen glatte Funktionen verallgemeinerte Funktionen Colombeaualgebren Mannigfaltigkeiten Differentialgeometrie semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Autor*innen
Annegret Burtscher
Haupttitel (Englisch)
Isomorphisms of algebras of smooth and generalized functions
Paralleltitel (Deutsch)
Isomorphismen von Algebren glatter und verallgemeinerter Funktionen
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
VIII, 97 Bl.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
AC Nummer
AC07684629
Utheses ID
4449
Studienkennzahl
UA | 405 | | |