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Das Unendliche in der Mathematik - eine holistische Betrachtung unter besonderer Berücksichtigung des Vorkommens in der eindimensionalen reellen Analysis und der Nichtstandardanalysis
Katrin Pamperl
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Geographie und Wirtschaftskunde
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.51319
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13147.32162.849654-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Vielfalt der Unendlichkeit in der Mathematik. Dabei werden wichtige gegenwärtige Forschungsgegenstände interdisziplinär und historisch gestützt, wodurch eine holistische Betrachtung möglich wird. Zuallererst wird das vielfältige Vorkommen der Unendlichkeit in Disziplinen wie der Physik, der Philosophie, der Musik, der Kunst oder der Theologie beleuchtet. Danach wird ein Streifzug durch die mathematische Unendlichkeitsgeschichte vorgenommen, wobei unter anderem Überlegungen zu der Unendlichkeit in der griechischen Antike, den unendlichen Dezimalzahlen nach Cantor oder dem Einfluss von Newton und Leibniz auf die Infinitesimalrechnung vorkommen. Als dritte Ebene der Auseinandersetzung mit der Unendlichkeit wird das innermathematische Vorkommen in der Mengenlehre, der eindimensionalen reellen Analysis und der Nichtstandardanalysis untersucht. Im ersten Teil wird beispielsweise die Frage behandelt, ob es unendlich viele unendlich mächtige Mengen gibt und wie der Forschungsstand bezüglich der Kontinuumshypothese aussieht. Danach werden im Zuge der Analysis Begriffe wie Grenzwert, Stetigkeit, Differentierbarkeit und Integrierbarkeit behandelt und auf Folgen und Reihen angewandt. Im letzten Teil zur Nichtstandardanalysis wird dessen Grundgerüst vorgestellt, sowie ein Vergleich zu Definitionen, Sätzen und Beweisen der eindimensionalen reellen Analysis vorgenommen. Es zeigt sich dadurch, dass die Unendlichkeit in der Mathematik sehr vielfältig ist. Einerseits kann sie als aktual vorhanden im Sinne von infiniten und infinitesimalen Elementen (wie in der Nichtstandardanalysis) als Objekt verwendet werden. Andererseits bezieht sich die Standardanalysis auf das potentielle-Unendliche im Sinne eines Prozesses oder der Vorstellung des Unendlichen.
Abstract
(Englisch)
The aim of this diploma thesis is to examine the complex term of infinity concerning the mathematical occurrence. Infinity has to be observed out of various perspectives, including different levels in order to create a holistic and well-connected understanding of mathematical infinity. The first level deals with approaches to infinity out of disciplines as physics, theology, music, art or philosophy. In addition to that, the second level of interest is the history of infinity in mathematical research. In this part some influences for today's mathematical vision of infinity are described. After that it is decided to concentrate on set theory, but even more important on one dimensional real analysis and non-standard analysis. They differ in their view on infinity. While the analysis uses infinity as potentially existing (in sense of a process or imagination), the non-standard analysis handles with actually existing infinitesimal and infinite objects. In these chapters deal with some important terms as limits of sequences and series, continuity, differentiability and integrability. The scope is to explain the important role of infinity for these concepts and additionally to show how it is practically used for calculations.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
mathematical infinity interdisciplinary historical background of mathematical infinity research set theory one dimensional analysis non-standard analysis
Schlagwörter
(Deutsch)
mathematische Unendlichkeit interdisziplinär Meilensteine der Unendlichkeitsgeschichte schulpraktische Exkurse Mengenlehre eindimensionale reelle Analysis Nichtstandardanalysis
Autor*innen
Katrin Pamperl
Haupttitel (Deutsch)
Das Unendliche in der Mathematik - eine holistische Betrachtung unter besonderer Berücksichtigung des Vorkommens in der eindimensionalen reellen Analysis und der Nichtstandardanalysis
Paralleltitel (Englisch)
The infinite in mathematics - a holistic view taking the occurrence in one-dimensional real analysis and non-standard analysis into special consideration
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
138 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.40 Analysis: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.41 Reelle Analysis
AC Nummer
AC15340762
Utheses ID
45329
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 456 |