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Der gute Ton der Querflöte
Fourieranalyse in der Musik
Angelika Schwarz
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Französisch
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.51320
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13148.27570.796854-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Verknüpfung der Musik mit der Mathematik. Zu Beginn wird kurz die geschichtliche Entwicklung der Querflöte dargestellt. Unter anderem wird die Tonerzeugung bei der Querflöte als physikalischer Prozess mathematisch betrachtet. Abbildungen zeigen Funktionsgraphen musikalischer Schwingungen, welche sich aus mathematischer Sicht aus periodischen Sinus- und Cosinusfunktionen zusammensetzen. Es wird darauf eingegangen, wie die Überlagerung von Wellen in der Physik mit Schwebungen zweier Töne unterschiedlicher Frequenzen zusammenhängt.
Im dritten Kapitel geht es um zylindrisch gebohrte Rohre und die darin entstehenden schwingenden Luftsäulen, welche mit Hilfe der Wellengleichung beschrieben werden. Obwohl es sich bei der Querflöte um eine offene Pfeife handelt, werden aus Gründen der Vollständigkeit auch geschlossene Pfeifen betrachtet. In den darauffolgenden Unterkapiteln wird näher auf die sogenannten Partialtöne, die Obertöne, eingegangen und es wird die faszinierende Tatsache, dass gleiche Töne auf verschiedenen Instrumenten eine andere Klangfarbe haben, näher beleuchtet. Um Obertöne und Klangspektren der einzelnen Instrumente sichtbar machen zu können wird die Methode der Fourieranalyse benötigt.
Das vierte und umfangreichste Kapitel dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Fourier-Theorie, auf welche, vor allem aus mathematischer Sicht, ausführlich eingegangen wird. Zu Beginn wird ein Überblick über das Leben und Schaffen des französischen Mathematikers Jean Baptiste Joseph Fourier gegeben. Er hatte Anfang des 19.Jahrhunderts die großartige Erkenntnis, dass sich alle periodischen Funktionen in Sinus - und Cosinusschwingungen zerlegen lassen. Des Weiteren werden die so wichtigen Fourier Koeffizienten, mit deren Hilfe man die Phase und Amplitude der Schwingung bestimmen kann, berechnet. Das Konvergenzproblem der Fourier - Reihen wird dargestellt und es wird näher auf die Approximation im quadratischen Mittel, gleichmäßige und punktweise Konvergenz eingegangen. Einige Beispiele wie die Sägezahnfunktion, die Rechtecksschwingung, die Zickzack-Welle und die Sprungfunktion werden vorgestellt. Im Anschluss wird das Gibbs-Phänomen untersucht, die komplexe Schreibweise des Fourierpolynoms eingeführt und es werden Fourier-Reihen aus Potenzreihen entwickelt. Der Schluss dieses Kapitels beinhaltet eine kurze Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften von Fourierpolynomen.
Im letzten Kapitel dieser Arbeit wird noch einmal die Verbindung zur Musik verdeutlicht – Obertöne der Querflöte werden mittels ihres Spektrums grafisch dargestellt und die Kunst des Überblasens, die Entstehung der Flageolettöne, wird erklärt.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Fourier Musik Querflöte Schwingungen Obertöne
Autor*innen
Angelika Schwarz
Haupttitel (Deutsch)
Der gute Ton der Querflöte
Hauptuntertitel (Deutsch)
Fourieranalyse in der Musik
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
II, 101 Seiten : Diagramme
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
Klassifikation
31 Mathematik > 31.40 Analysis: Allgemeines
AC Nummer
AC15028022
Utheses ID
45330
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 347 |