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Elementare Differentialgeometrie und die hyperbolische Ebene
Tobias Slowiak
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Physik UF Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
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Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
DOI
10.25365/thesis.51321
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-27648.48159.902262-1
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Abstracts

Abstract
(Deutsch)
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Untersuchung der ebenen hyperbolischen Geometrie. Die hyperbolische Geometrie baut auf wenigen Axiomen auf, die sich im sogenannten Parallelenaxiom von denen der herkömmlichen euklidischen Geometrie unterscheiden. Man kann dabei verschiedene Modelle der hyperbolischen Geometrie erzeugen, also mathematische Strukturen, die die Axiome der hyperbolischen Geometrie erfüllen. Eine besonders fruchtbare Quelle solcher Modelle der hyperbolischen Geometrie ist die Differentialgeometrie. Deshalb wird in dieser Arbeit zuerst ein grober Überblick über die wichtigsten Begriffe und Zusammenhänge der Differentialgeometrie von Flächen gegeben. So soll ein anschauliches Verständnis für die Methoden geschaffen werden, die später die Untersuchungen der ebenen hyperbolischen Geometrie wesentlich prägen. Anschließend werden vier Modelle der hyperbolischen Geometrie vorgestellt, wobei der Großteil der Untersuchungen im sogenannten Hyperboloid-Modell gemacht wird. Da sich die Modelle einfach ineinander überführen lassen, gelten die Ergebnisse der Untersuchungen in entsprechender Form für alle Modelle. Zum Schluss wird noch skizziert wie zwei dieser Modelle auch ohne die Differentialgeometrie konstruiert werden können.
Abstract
(Englisch)
The main focus of this thesis is to investigate and portray the two dimensional hyperbolic geometry. The hyperbolic geometry is based on a small set of axioms, that differ from the usual euclidean geometry in the so called parallel axiom. One can construct different models of the hyperbolic geometry, i.e. mathematical structures, that satisfy the axioms of the hyperbolic geometry. Differential geometry is a particularly fruitful source of such models of the hyperbolic geometry. Therefore, in the first two chapters of this thesis, the basics of differential geometry will be introduced. The methods of investigating the hyperbolic geometry will then strongly rely on these basics. The last chapter introduces four different models of the hyperbolic geometry. The bulk part of the findings about the hyperbolic geometry will be made in the so called hyperboloid model. These findings hold analogously for all the other models. Finally, a way to construct models of the hyperbolic geometry, without differential geometry, will be sketched.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
differential geometry hyperbolic geomety hyperbolic plane
Schlagwörter
(Deutsch)
Differentialgeometrie Hyperbolische Geometrie Hyperbolische Ebene
Autor*innen
Tobias Slowiak
Haupttitel (Deutsch)
Elementare Differentialgeometrie und die hyperbolische Ebene
Paralleltitel (Englisch)
Elementary differential geometry and the hyperbolic plane
Publikationsjahr
2017
Umfangsangabe
82 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.50 Geometrie: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC15028068
Utheses ID
45331
Studienkennzahl
UA | 190 | 412 | 406 |
Universität Wien, Universitätsbibliothek, 1010 Wien, Universitätsring 1