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Numerische Integration – Verfahren zur effizienten Berechnung von Integralen
Alexander Thomaso
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Physik
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.51323
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13148.46043.911153-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Numerische Integrationsverfahren werden einerseits dann verwendet, wenn die Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen dargestellt werden kann und andererseits, wenn der Integrand nur an einigen Stellen bekannt ist (beispielsweise bei Experimenten). In dieser Arbeit werden drei Klassen von numerischen Integrationsverfahren ausführlich behandelt, nämlich die Newton-Cotes-Formeln, das Romberg-Verfahren und das Gauß-Verfahren.
Die bekanntesten numerischen Integrationsverfahren sind die Newton-Cotes-Formeln, zu denen auch die Mittelpunktregel, die Sehnentrapezregel und die Simpsonregel (Keplersche Fassregel) gehören. Das gesamte Integrationsintervall wird in eine bestimmte Anzahl äquidistanter Teilintervalle zerlegt. Je nach Position der Stützstellen unterscheidet man zwischen abgeschlossenen und offenen Newton-Cotes-Formeln. Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln bieten sich für die Auswertung von Experimenten an. Mit Ausnahme der Mittelpunktregel werden offene Newton-Cotes-Formeln kaum verwendet, da es hierfür bessere Alternativen gibt.
Eine derartige Alternative stellen die verschiedenen Vertreter des Gauß-Verfahrens dar. Hierbei werden als Stützstellen die Nullstellen bestimmter Polynome verwendet. Dieses Verfahren zeichnet sich durch eine sehr hohe Fehlerordnung aus. Es lässt sich zeigen, dass kein numerisches Integrationsverfahren bei gleich vielen Stützstellen eine höhere Fehlerordnung aufweisen kann.
Das dritte Verfahren ist das Romberg-Verfahren, bei welchem das zu bestimmende Integral mehrmals mittels Sehnentrapezregel approximiert wird, wobei jeweils die Teilintervallbreite variiert wird. Durch den Algorithmus von Aitken und Neville wird eine Extrapolation des Näherungswertes für eine verschwindende Teilintervallbreite durchgeführt. Auf diese Weise erhält man durch Kombination mehrerer Näherungswerte eine weitaus bessere Näherung des Integrals.
Neben diesen drei Verfahren wird oberflächlich auch auf die Schrittweitensteuerung und die Monte-Carlo-Methode eingegangen. Letztere eignet sich zur numerischen Approximation von Mehrfachintegralen.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Numerische-Integration Newton-Cotes-Formeln Romberg-Verfahren Gauß-Verfahren Bernoulli-Polynome
Autor*innen
Alexander Thomaso
Haupttitel (Deutsch)
Numerische Integration – Verfahren zur effizienten Berechnung von Integralen
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
130 Seiten : Diagramme
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
Klassifikation
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
AC Nummer
AC15327775
Utheses ID
45333
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 412 |