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Fraktale Welten - mathematische Behandlung von Fraktalen Strukturen
Farah Katharina Wölfl
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Physik
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.51957
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17736.87958.928352-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Behandlung
von Fraktalen Strukturen.
Zu Beginn werden grundlegende Konzepte von Fraktalen behandelt und dargestellt.
Es wird auch auf
Konstruktionen verschiedenster Koch-Kurven eingegangen und mathematisch
analysiert. Des Weiteren wird das Sierpinski-Dreieck vorgestellt und dessen Konzept
auf den dreidimensionalen Menger-Schwamm übertragen.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Berechnung und Darstellung Fraktaler
Bäume in der Programmiersprache Python
Des Weiteren wird das Programm vorgestellt und die
Ergebnisse präsentiert.
Das vierte Kapitel handelt von der Einführung des Begriffs der Fraktalen Dimension.
Es werden Konzepte der
Fraktalen Dimension behandelt, welche die Selbstähnlichkeitsdimension, die
Boxdimension, die Hausdorff-Dimension und die topologische Dimension
miteinschließt.
Im fünften Kapitel dieser Arbeit geht es um Fraktale in der Architektur. Hier wird
insbesondere auf das architektonische Werk von Lloyd Wright eingegangen.
Mit Hilfe der Box-Methode wird die Fraktale Dimension des
Robie-Hauses und die Fraktale Dimension der Flügelfenster des Gebäudes bestimmt.
Das letzte und größte Kapitel beschäftigt sich mit Iterationen. Diese werden vor
allem aus mathematischer Sicht behandelt. Anfangs werden Iterationen an reelen
Geraden und euklidischen Ebenen vorgestellt und auf das Verhalten verschiedener
Orbits eingegangen. Des Weiteren wird das Chaos-Spiel erklärt und schließlich
verallgemeinert.
Anschließend wird auf ihre
Eigenschaften näher eingegangen. Im Anschluss wird die komplexe Zahlenebene
eingeführt um Iterationen auf C durchführen zu können. Die dabei entstandenen
wunderschönen Dynamiken werden mit dem Newton-Verfahren für z^3 -1 möglich und
mit Hilfe des Computerprogramms Xaos dargestellt. Zuletzt werden Eigenschaften
der Mandelbrotmenge genannt und diese Menge wird in Xaos betrachtet.
Abstract
(Englisch)
This diploma thesis deals with the mathematical approach to fractal structures.
At the beginning fundamental concepts of fractals are examined and presented.
The thesis will deal with constructions of various Koch-curves and those will be mathematically
analysed. Furthermore the Sierpinski triangle will be introduced and its concept will
be transposed to the three-dimensional Menger sponge.
The third chapter focuses on the calculation and graphic representation of fractal
trees in the programming language Python.
Additionally the program itself and its results are presented.
The fourth chapter introduces the terminology of the fractal dimension.
Concepts of the fractal dimension will be discussed,
which include the self-similarity dimension, the box-Dimension, the Hausdorff
dimension and the topological dimension.
In the fifth chapter of this diploma thesis fractals in architecture are described.
His buildings like the Robie-House are excellently suited for the calculation of the fractal dimension
of its shapes and its window casements.
The last and longest chapter deals with iterations from a mathematical perspective.
First of all, iteration on real straights and Euclidean planes and the behavior of
different orbits are discussed. Furthermore the chaos-game is explained and finally
generalized.
Then their properties are clarified. In addition the complex plane is
introduced in order to carry out iterations on C. Beautiful graphics for z^3- 1 are
created with Newton's method and are plotted with the computer program Xaos.
Finally properties of the Mandelbrot set are named and plotted the set in Xaos.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Fractals dimension Koch-curve self-similarity fractal-architecture Mandelbrot chaosgame fractal-trees
Schlagwörter
(Deutsch)
Fraktale Dimension Kochkurve Selbstähnlichkeit fraktale-Architektur Mandelbrot Chaosspiel fraktale-Bäume
Autor*innen
Farah Katharina Wölfl
Haupttitel (Deutsch)
Fraktale Welten - mathematische Behandlung von Fraktalen Strukturen
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
II, 107 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
AC Nummer
AC15353905
Utheses ID
45890
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 412 |