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Asymptotic properties of coherent law-invariant risk functionals
Nancy Wozabal
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Betreuer*in
Georg Pflug
DOI
10.25365/thesis.610
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29944.74946.185962-3
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir die asymptotischen Eigenschaften der Klasse der koherenten versionsunabhängigen Risikofunktionale. Diese Klasse von Risikofunktionalen erfreut sich sowohl in der Forschung als auch in der praktischen Anwendung großer Beliebtheit.
Wir nehmen an, dass der unsichere zukünftige Profit/Verlust wirtschaftlichen Handelns durch eine Zufallsvariable $X$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathfrak{F})$ gegeben ist. Ein Risikofunktional quantifiziert den abtrakten Begriff des Risikos für die Position $X$. Die Eigenschaft der Versionsunabhängigkeit gewährleistet, dass die betrachteten Funktionale nur von der Verteilung von $X$ abhängen (also nicht von $\Omega$). Dies ermöglicht es das Risko von $X$ mittels empirischen Daten zu schätzen.
Genauer sind diese Schätzer für $\mathcal{A}(X)$ von der folgenden Form
\begin{equation}\label{eq:AfnreprD}
\mathcal{A}[\hat F_n] = \inf \left\{ \int_{(0,1]} \AVaR_\alpha [\hat F_n] dm(\alpha) : m\in\mathcal{M}_0 \right\},
\end{equation}
wobei $\hat F_n$ die empirische Verteilung ist.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit den asymptotischen statistischen Eigenschäften der obigen Funktionale. Insbesondere werden die folgenden beiden Fragestellungen behandelt.
\begin{itemize}
\item Konsistenz: Konvergiert $\mathcal{A}[\hat F_n]$ fast überall nach $\mathcal{A}[F]$, wenn $n \to \infty$?
\item Asymptotische Verteilung: Unter welchen Bedingungen existiert
$$\lim_{n\to \infty} \sqrt{n}(\mathcal{A}[\hat F_n]-\mathcal{A}[F])$$
und welche Verteilung hat diese Grö{\ss}e.
\end{itemize}
Es werden Bedingungen an $F$ und $\mathcal{M}_0$ identifiziert under welchen die beiden obigen Fragen positiv beantwortet werden können. Da sich das Integral in \eqref{eq:AfnreprD} als Linearkombination von \emph{order statistics} schreiben lässt, können diese Fragen im Fall $\mathcal{M}_0=\{ m \}$ mittels klassichen Resultaten über \emph{L-statistics} behandelt werden. Für den allgemeinen Fall $|\mathcal{M}_0| > 1$ werden diese Resultate zu deren 'gleichmäßigen' Versionen erweitert.
Abstract
(Englisch)
The subject of risk and acceptability measures has received wide spread attention in the last years owing to the importance of it in many of the financial applications. Assuming that the profit/loss of the investment under consideration can be modelled by a random variable $X$ defined on a measure space $(\Omega, \mathfrak{F})$, a risk functional quantifies the risk involved in the activity.
In this work, the class of law-invariant coherent risk measures will be considered. Law invariance is a useful property since in this case the risk functional does not explicitly depend on the event space $\Omega$, and it suffices to know the distribution of the profit variable. Hence, one can derive the asymptotics of the functional based on the empirical distribution.
Using well known representation results for coherent risk measures the empirical estimator for a risk measure $\mathcal{A}(X)$ can be written as
\begin{equation}\label{eq:AfnreprE}
\mathcal{A}[\hat F_n] = \inf \left\{ \int_{(0,1]} \AVaR_\alpha [\hat F_n] dm(\alpha) : m\in\mathcal{M}_0 \right\},
\end{equation}
where $\AVaR_\alpha$ is the average (conditional) value at risk at level $\alpha$.
My aim is to consider the conditions under which this estimator has the 'right' behaviour as $n$ increases. In specific, the following two issues will be considered:
\begin{itemize}
\item The issue of asymptotic consistency: Does $\mathcal{A}[\hat F_n]$ converge to $\mathcal{A}[F]$ (almost surely or in probability) as $n \to \infty$?
\item The issue of asymptotic distribution of this estimator: Identifing the limit distribution of $\sqrt{n}(\mathcal{A}[\hat F_n]-\mathcal{A}[F])$ and giving conditions for the existence of the same.
\end{itemize}
The thesis examines under what conditions on $F$ and $\mathcal{M}_0$ the above goals can be met. The approach that is chosen, is to write the integral in \eqref{eq:AfnreprE} as linear combination of order statistics. This in turn allows the application of the Strong law of large numbers and Central Limit Theorem for L-statistics in analyzing asymptotic behaviour of version independent functionals with representation \eqref{eq:AfnreprE} and the set $\mathcal{M}_0$ a singleton set. To tackle the general case when $|\mathcal{M}_0|>1$, the classical theorems for L-statistics are extended to their respective 'uniform' versions.
This Thesis gives the extensions to these Theorems and thereby provides answers to the issues of asymptotic behaviour of the empirical estimators of risk functionals, discussed above.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
risk measures risk functionals consistency asymptotic distribution
Schlagwörter
(Deutsch)
Risikomaße Risikofunktionale Konsistenz Asymptotische Verteilung
Autor*innen
Nancy Wozabal
Haupttitel (Englisch)
Asymptotic properties of coherent law-invariant risk functionals
Paralleltitel (Deutsch)
Asymptotische Eigenschaften der Klasse der koherenten verteilungsinvarianten Risikofunktionale
Publikationsjahr
2008
Umfangsangabe
88 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Georg Pflug ,
Werner Römisch
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung ,
31 Mathematik > 31.73 Mathematische Statistik
AC Nummer
AC05037408
Utheses ID
465
Studienkennzahl
UA | 084 | 136 | |