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(In)stability and asymptotic analysis of the Zakharov-Rubenchik system and related wave type equations
Hung Luong
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Norbert Mauser
DOI
10.25365/thesis.53733
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30960.89582.776854-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Thesis behandeln wir einige mathematische Probleme betreffend des Chauchy-Problems für einige zweidimensionale nichtlineare dispersiver Gleichungen, und Störungen derselben durch ein Linien-Soliton, mit Bezug auf die transversale Stabililtät dieser Modelle. Wir betrachten sdiese Modelle als asymptotische Modelle des sehr allgemeinen „Wasserwellen-Systems“, wie etwa das Zakharov-Rubenchik-System. Dies führt auf viele interessante Fragen zur Langzeitexistenz einer Lösung (bezüglich eines kleinen Parameters).
In Kapitel 1 stellen wir die Probleme vor, geben einen Ueberblick über bekannte Resultate sowie die Literatur für transverse Stabilität/instabilität, und die von uns behandelten Modelle.
In Kapitel 2 studieren wir das zwei-dimensionale Zakharov-Rubenchik-system. Eine Störung des Zakharovsystems durch sein Linien-Soliton enthält neue lokale und nichtlokale lineare Terme, dies führt zu Schwierigkeiten bei Verwenden der „dispersiven Methode“, die auf Strichartz-Estimates und Dispersionseigenschaften des Schrödinger-Operators basiert. Zuerst verwenden wir die Methode von Bourgain, um lokale Wohlgestelltheit in einer großen Klasse von Sobolev-Räumen zu erhalten. Dann verwenden wir die Methode von Schochet und Weinstein, um eine weitere Version der lokalen Wohlgestelltheit in einer kleineren Klasse von Sobolev-Räumen zu erhalten. Diese ergibt den Grenzwert zur korrespondierenden Schrödinger-Gleichung, wenn ein Parameter der Gleichung gegen Unendlich geht.
In Kapitel 3 untersuchen wir das Zakharov-Rubenchik/Benney-Roskes-System (Z-R/B-R). Das Z-R/B-R-System ists fundamental, es ist ein „generisches“ asymptotisches System im sogenannten modulation regime (langsam variierende Einhüllende eines schnell oszillierenden Wellenzugs), das in mehreren physikalischen Zusammenhängen hergeleitet wurde. Außerdem enthält es als Grenzwerte das klassischer (skalare) Zakharov-System und die Davey-Stewartson (DS) -Systeme. Somit ist Z-R/B-R reicher als die einfacheren Modelle und sollte mehr der ursprünglichen Dynamik beschreiben.
In Kapitel 4 behandeln wir ein asymptotisches Modell der (Oberflächen – oder Internen) Wasserwellen-Gleichungen, das Full Dispersion Davey-Stewartson (FDDS) – System. Das FDDS wurde vor kurzem von David Lannes hergeleitet, und im Gegensatz zum herkömmlichen DS-System erhalet es die lineare Dispersionsrelatoin der vollen Wasserwellengleichung. Es sollte daher eine bessere Beschreibug der originalen Wellenbewegung ergeben als die klassische Näherung. Leider ist über das Cauchy-Problem für FDDS viel weniger bekannt, aufgrund der Nicht-invertierbarkeit der zweiten Gleichung. Wir verwenden eine Frequenzschranke, um eine Approximation an FDDS herzuleiten, und beweisen dann, dass deren Lösung gegen die Lösung des entsprechenden klassischen DS – Systems tendiert, wenn der kleine Parameter gegen null geht. In Kapitel 5 betrachten wir das zweidimensionale „(a,b,c,d)“ Boussinesq-System, das ein asymptotisches Modell für Oberflächenwasserwellen im Bereich langer Wellen und kleiner Amplituden ist. Es ist bekannt, dass für spezielle Fälle (der Werte von „(a,b,c,d)“) ein-dimensionale Solitärwellen des Boussinesq-Systems existieren. Wir untersuchen das Cauchy-Problem für die Störung des zweidimensionalen Boussinesq-Systems durch seine ein-dimensionale Solitärwelle in diesen Fällen.
In Kapitel 6 behandeln wir numerische Simulationen. Wir verwenden die Time Splitting Fourier Spectral-Methode, um das Z-R/B-R System aus Kapitel 3 zu untersuchen. Die Ergebnisse sind nicht völlig eindeutig, aber sie sind konsistent mit transversaler Instabliltät des Linien-Solitons. Außerdem geben sie Hinweise auf den Zusammenhang zwischen (In-)Stabilität und Wellengeschwindigkeit des Solitons und ein generelles Bild über das Verhalten der Lösung des gestörten Systems.
Abstract
(Englisch)
In this thesis, we address various mathematical problems concerning the Cauchy problem for various two-dimensional nonlinear dispersive equations and their perturbations by a line soliton, related to the problem of transverse stability for these models.
We consider these models as the asymptotic models of the very general "water wave equation system" like the Zakharov-Rubenchik system. This leads to many interesting questions on the long time existence of solution (with respect to some small parameters).
In the Chapter 1 , we present the problems, review existing results and the literature for the transverse stability/instability problems and the models which we consider.
In the Chapter 2, we study the two-dimensional Zakharov system. The perturbation of the Zakharov system by its line soliton contains some new local and nonlocal linear terms, that gives trouble if we use the "dispersive method" based on the Strichart's estimates and smoothing effect of the Schroedinger operator. We first use the method of Bourgain to provide a local well-posedness result in a large class of Sobolev space. Then, we use the method inspired by Schochet and Weinstein, to get another version of local well-posedness result in a smaller class of Sobolev spaces, but it gives us the limit to the corresponding Schroedinger equation when a certain parameter of the equation tends to infinity.
In the Chapter 3, we study the Zakharov-Rubenchik/Benney-Roskes (Z-R/B-R) system. The Z-R/B-R system is fundamental, being a "generic" asymptotic system in the so-called modulation regime (slowly varying enveloppe of a fast oscillating train) and it was actually derived in various physical contexts. Moreover it contains in various limits the classical (scalar) Zakharov system and the Davey-Stewartson systems (DS). Thus, the Z-R/B-R is richer than those simpler models and should capture more of the original dynamics.
In the Chapter 4, we consider an asymptotic model of the (surface or internal) water wave equations - the full dispersion Davey-Stewartson system (FDDS). The FDDS was recently derived by David Lannes, and in contrast to the standard DS system, the full dispersion system preserves the linear dispersion relation of the full water wave equations, and should therefore give a richer description of the original wave dynamics than the classical approximation. Unfortunately, the Cauchy problem for the FDDS is very less known due to the non-invertibility of the second equation. We use a cutoff in the frequency to derive an approximation of the FDDS, then prove that its solution tends to the solution of the corresponded classical DS system when the small parameter tends to zero.
In the Chapter 5, we consider the two dimensional ``(a,b,c,d)" Boussinesq system which is an asymptotic model of surface water waves in the long wave, small amplitude regime. It is known for some particular cases (due to the value of ``(a,b,c,d)''), there exists the one-dimensional solitary wave of the Boussinesq system. We then study the Cauchy problem for the perturbation of the two-dimensional Boussinesq system by its one-dimensional solitary wave in these cases.
In the chapter 6, we finally deal with numerical simulations of the above PDE systems. We use time splitting Fourier spectral methods to study the Z-R/B-R system introduced in the Chapter 3. The results are not totally conclusive but they are consistent with the transverse instability of the line soliton. They also give a hint about the relation of the (in-)stability and the wave speed of the line soliton and a general picture about the behavior of the solution of the perturbed system.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Transverse stability water wave equation Zakharov-Rubenchik equation
Schlagwörter
(Deutsch)
Transversale Stabilität Wasser-Wellengleichung Zakharov-Rubenchik Gleichung
Autor*innen
Hung Luong
Haupttitel (Englisch)
(In)stability and asymptotic analysis of the Zakharov-Rubenchik system and related wave type equations
Paralleltitel (Deutsch)
(In)stabilität und asymptotische Analysis des Zakharov-Rubenchik Systems und verwandter Wellengleichungen
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
144 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Claude Bardos ,
Edriss Titi
AC Nummer
AC15425162
Utheses ID
47468
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |