Detailansicht

Quasi-stationary distributions in the Moran model with two strategy games
Philipp Merz
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Josef Hofbauer
Volltext herunterladen
Volltext in Browser öffnen
Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
DOI
10.25365/thesis.53998
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24285.33662.369961-9
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit befasst sich mit dem Verhalten einer Population, welche in zwei Personen Spielen untereinander interagiert. Wir verwenden das Moran Modell und führen eine Fitness basierte Immitation ein, welche die durchschnittlichen Payoffs der Spieler sowie ihre Frequenz inkludiert. Damit erhalten wir eine Geburts-Todes Kette oder Immitations Kette, die wir mit der deterministischen Replikator Gleichung vergleichen können. Solche Populations Modelle haben vielseitige Anwendungen, unter anderem in der Ökonomie und der Biologie. Die meisten Arbeiten über das langfristige Verhalten solcher Ketten inkludieren zusätzlich Mutation, wodurch eine eindeutige stationäre Verteilung mit vollem Träger existiert. Eine Motivation dieser Arbeit, war dieses Modell ohne Mutation und daher nicht-irreduzibel zu betrachten, was eine andere Vorgehensweise benötigt. Wenn keine expliziten Lösungen bekannt sind approximieren wir mit numerischen Methoden. Im Grenzwert für unendlich große Populationen sollte das stochastische mit dem deterministischen Modell übereinstimmen und zum großen Teil konnte dies von uns bestätigt werden. Untersucht wurden fünf verschiedene Typen von zwei Personen Spielen, nämlich Neutrales, Koordinations, Anti-Koordinations, Dominiertes und das von uns benannte fast neutrale (almost neutral) Spiel. Für jeden Fall werden die Quasi-stationäre, die Pseudo-stationäre und die Langzeitverteilung (long-term distribution) detailliert diskutiert. Zusätzlich werden durchschnittliche Absorptionszeiten (average fixation time) sowie die FixierungsWahrscheinlichkeit (fixation probability) angegeben. Ausbalancierte Versionen der klassischen Koordinations und Anti-Koordinations Spiele ergeben Modelle, welche die Eigenschaften und Dynamiken dieser wiederspiegeln. Das Anti-Koordinations Spiel stellte sich als paradox heraus, da hier die Stationäre Verteilung scheinbar keine Rolle für das langfristige Verhalten spielt. Hier liefert die Quasi-stationäre Verteilung die relevantere Prognose, da sie das innere stabile Gleichgewicht der Replikator Gleichung wiedergibt. Dieser Effekt verstärkt sich bei größeren Population noch, daher stimmen hier Replikator Dynamik und Imitations Kette überein.
Abstract
(Englisch)
This thesis studies the behaviour of a fixed size population that engages in two by two games. We use the Moran model and introduce fitness based on average payoff to weight the imitation happening at each step. This leaves us with a birth-death chain or imitation chain which we can compare to the deterministic replicator dynamic. Such population models have applications in many fields, for example biology or economics and have been studied extensively. Most studies of the long term behaviour and its stability over time for the Moran model, included mutation because this gives a unique stationary distribution with full support. In this thesis we exclude mutation and work with the non-irreducible chain, which needs a different approach. We mostly used numeric approximations when there were no explicit formulas given. In the limit of infinite populations the deterministic and stochastic models should agree and we could mostly recapture this fact. We studied five different cases of two by two games namely a neutral, a dominated, a coordination, an anti-coordination and what we called an almost-neutral game. We give detailed discussions for each case in terms of the quasi-stationary, pseudo-stationary and the long-term distributions. Also fixation probabilities and average fixation times are given. Additionally we examine what happens if the game matrix is chosen with largely differing values which in some cases gives us degenerated results. Balanced versions of the classical coordination or anti-coordination games produce really nice stochastic models which incorporate the details of the dynamics. The anticoordination case has the most paradoxical nature where it seems like the stationary distribution is no longer relevant. But as it turns out the LTD would converge to the stationary distribution but needs excruciatingly huge amounts of time compared to all other cases. One could say it converges so slowly that the quasi-stationary distribution is a more relevant prediction. Additionally the QSD mirrors the interior stable state of the corresponding REP dynamic and therefore recovers the connection between REP and imitation chain.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
Moran model game theory population model quasi-stationary distribution replicator equation two strategy games
Schlagwörter
(Deutsch)
Moran Modell Spieltheorie Populationsmodell Quasi-stationäre Verteilung Replikatorgleichung zwei Strategien Spiele
Autor*innen
Philipp Merz
Haupttitel (Englisch)
Quasi-stationary distributions in the Moran model with two strategy games
Paralleltitel (Deutsch)
Quasi-stationäre Verteilungen im Moran Modell für Spiele mit zwei Strategien
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
ix, 43 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Josef Hofbauer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC15425547
Utheses ID
47708
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |
Universität Wien, Universitätsbibliothek, 1010 Wien, Universitätsring 1