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Quasi-stationary distributions in the Moran model with two strategy games
Philipp Merz
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Josef Hofbauer
DOI
10.25365/thesis.53998
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24285.33662.369961-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit befasst sich mit dem Verhalten einer Population, welche in zwei
Personen Spielen untereinander interagiert. Wir verwenden das Moran Modell und
führen eine Fitness basierte Immitation ein, welche die durchschnittlichen Payoffs
der Spieler sowie ihre Frequenz inkludiert. Damit erhalten wir eine Geburts-Todes
Kette oder Immitations Kette, die wir mit der deterministischen Replikator Gleichung
vergleichen können.
Solche Populations Modelle haben vielseitige Anwendungen, unter anderem in der
Ökonomie und der Biologie. Die meisten Arbeiten über das langfristige Verhalten
solcher Ketten inkludieren zusätzlich Mutation, wodurch eine eindeutige stationäre
Verteilung mit vollem Träger existiert. Eine Motivation dieser Arbeit, war dieses
Modell ohne Mutation und daher nicht-irreduzibel zu betrachten, was eine andere
Vorgehensweise benötigt. Wenn keine expliziten Lösungen bekannt sind approximieren
wir mit numerischen Methoden.
Im Grenzwert für unendlich große Populationen sollte das stochastische mit dem deterministischen
Modell übereinstimmen und zum großen Teil konnte dies von uns
bestätigt werden. Untersucht wurden fünf verschiedene Typen von zwei Personen
Spielen, nämlich Neutrales, Koordinations, Anti-Koordinations, Dominiertes und
das von uns benannte fast neutrale (almost neutral) Spiel. Für jeden Fall werden die
Quasi-stationäre, die Pseudo-stationäre und die Langzeitverteilung (long-term distribution)
detailliert diskutiert. Zusätzlich werden durchschnittliche Absorptionszeiten
(average fixation time) sowie die FixierungsWahrscheinlichkeit (fixation probability)
angegeben.
Ausbalancierte Versionen der klassischen Koordinations und Anti-Koordinations
Spiele ergeben Modelle, welche die Eigenschaften und Dynamiken dieser wiederspiegeln.
Das Anti-Koordinations Spiel stellte sich als paradox heraus, da hier die
Stationäre Verteilung scheinbar keine Rolle für das langfristige Verhalten spielt. Hier
liefert die Quasi-stationäre Verteilung die relevantere Prognose, da sie das innere stabile
Gleichgewicht der Replikator Gleichung wiedergibt. Dieser Effekt verstärkt sich
bei größeren Population noch, daher stimmen hier Replikator Dynamik und Imitations
Kette überein.
Abstract
(Englisch)
This thesis studies the behaviour of a fixed size population that engages in two by
two games. We use the Moran model and introduce fitness based on average payoff
to weight the imitation happening at each step. This leaves us with a birth-death
chain or imitation chain which we can compare to the deterministic replicator dynamic.
Such population models have applications in many fields, for example biology or
economics and have been studied extensively. Most studies of the long term behaviour
and its stability over time for the Moran model, included mutation because
this gives a unique stationary distribution with full support. In this thesis we exclude
mutation and work with the non-irreducible chain, which needs a different
approach. We mostly used numeric approximations when there were no explicit
formulas given.
In the limit of infinite populations the deterministic and stochastic models should
agree and we could mostly recapture this fact. We studied five different cases of two
by two games namely a neutral, a dominated, a coordination, an anti-coordination
and what we called an almost-neutral game. We give detailed discussions for each
case in terms of the quasi-stationary, pseudo-stationary and the long-term distributions.
Also fixation probabilities and average fixation times are given. Additionally
we examine what happens if the game matrix is chosen with largely differing values
which in some cases gives us degenerated results.
Balanced versions of the classical coordination or anti-coordination games produce
really nice stochastic models which incorporate the details of the dynamics. The anticoordination
case has the most paradoxical nature where it seems like the stationary
distribution is no longer relevant. But as it turns out the LTD would converge to the
stationary distribution but needs excruciatingly huge amounts of time compared to
all other cases. One could say it converges so slowly that the quasi-stationary distribution
is a more relevant prediction. Additionally the QSD mirrors the interior
stable state of the corresponding REP dynamic and therefore recovers the connection
between REP and imitation chain.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Moran model game theory population model quasi-stationary distribution replicator equation two strategy games
Schlagwörter
(Deutsch)
Moran Modell Spieltheorie Populationsmodell Quasi-stationäre Verteilung Replikatorgleichung zwei Strategien Spiele
Autor*innen
Philipp Merz
Haupttitel (Englisch)
Quasi-stationary distributions in the Moran model with two strategy games
Paralleltitel (Deutsch)
Quasi-stationäre Verteilungen im Moran Modell für Spiele mit zwei Strategien
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
ix, 43 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Josef Hofbauer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC15425547
Utheses ID
47708
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |