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An operator splitting approach for the Pauli equation
Timon Salar Gutleb
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Norbert Mauser
DOI
10.25365/thesis.54576
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18497.39212.482961-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit diskutiert numerische Ansätze zur Pauli Gleichung, welche ein semirelativistisches quantenphysikalisches Modell für geladene Fermionen wie z.B. Elektronen in einem elektromagnetischen Feld darstellt. Zunächst werden dafür die allgemeine Schrödinger Gleichung sowie der mathematische Formalismus der Quantenphysik und Spin sowie klassische Elektrodynamik basierend auf Lorentz-Kraft und Maxwell Gleichungen kurz eingeführt, gefolgt von einer kurzen Diskussion zweier fundamental relativistischer Quantenfeldgleichungen: der Klein-Gordon und Dirac Gleichung. Darauf aufbauend werden zwei verschiedene Motivationen für die Pauli Gleichung als sinnvolles Modell präsentiert: Ein Bottom-up Ansatz basierend auf experimentellen Resultaten und ein Top-down Ansatz als semi-relativistischer Limes der Dirac Gleichung. Nachdem die Pauli Gleichung auf diese Art motiviert und eingeführt wurde werden numerische Ansätze zum Pauli System wie auch der magnetischen Schrödinger Gleichung diskutiert. Dabei wird eine mögliche Skalierung dieser Gleichungen hergeleitet. Den Kern der Arbeit bildet die Erweiterung eines bekannten numerischen Ansatzes zur magnetischen Schrödinger Gleichung auf das Pauli Gleichungssystem, inklusive einer numerischen Implementation dieser Methode in der Programmiersprache Julia.
Abstract
(Englisch)
In this thesis we discuss the Pauli equation which models the semi-relativistic evolution of electron states in an electromagnetic field. An introduction is given on the physics and mathematics of quantum mechanics and electromagnetism including core concepts such as the Schrödinger equation, potential couplings to Maxwell’s equations and the Lorentz force of classical electromagnetism and the relativistic Klein-Gordon and Dirac equations. From these, one finds two different approaches to arrive at the Pauli equation: A bottom-up approach which adds spin to conform to empirical results and a top-down approach which shows the Pauli equation to be the semi-relativistic limit of the fully relativistic Dirac equation. Once the Pauli equation’s modeling and relevance to modern physics is established, we move to discussing potential numerical approaches to finding solutions. We will present one sensible way to scale the Pauli equation for use in numerical procedures and present a coupled four operator-splitting approach to numerically solving the Pauli equation based on previous results for the magnetic Schrödinger equation in [1]. Most discussions are applied to both the magnetic Schrödinger equation and the Pauli equation. We conclude by presenting a handful of numerical experiments done in a Julia language implementation of this four operator-splitting method and by discussing potential applications and an outlook on potential future research.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Pauli equation Numerics PDE scaling non-dimensionalization electromagnetism semi-relativistic operator splitting julia programming language magnetic Schrödinger equation
Schlagwörter
(Deutsch)
Pauli Gleichung Numerik PDE Skalierung Maxwell Gleichungen Elektromagnetismus semi-relativistisch Split-Operator-Methode Julia magnetische Schrödinger Gleichung
Autor*innen
Timon Salar Gutleb
Haupttitel (Englisch)
An operator splitting approach for the Pauli equation
Paralleltitel (Deutsch)
Eine Split-Operator-Methode für die Pauli Gleichung
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
67 Seiten : Illustration, Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Norbert Mauser
AC Nummer
AC15451042
Utheses ID
48232
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |