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Wie weit ist die Nullstelle noch entfernt?
Iterationsverfahren zur Auffindung von Nullstellen nichtlinearer Funktionen
Alexandra Uhl
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Haushaltsökonomie und Ernährung
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.55630
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18038.61253.880353-0
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Zu Beginn der Arbeit werden Hilfsmittel der mehrdimensionalen Analysis und grundlegende mathematische Formulierungen erklärt die im Laufe der Arbeit verwendet werden. Jedes Kapitel, abgesehen von dem Letzten, beschäftigt sich mit einem Iterationsverfahren, welches theoretisch beschrieben und bewiesen wird und anschließend an einem Beispiel angewendet wird. Zuerst wird das allgemeine Iterationsverfahren beschrieben, da sich alle anderen Iterationsverfahren auf dieses Verfahren zurückführen lassen. Es wird Schritt für Schritt zunächst in der Theorie erklärt wie sich dieses Verfahren verhält und welche Bedingungen die Konvergenz garantieren, wobei zwischen den theoretischen Erklärungen die Anwendung einzelner Schritte mithilfe von Beispielen und Abbildungen aufgezeigt wird. In dem ersten Kapitel spielen die Begriffe lipschitzstetig, kontrahierend und Fixpunktgleichung eine wichtige Rolle und es wird aufgezeigt wie der Fixpunkt einer passenden Schrittfunktion mit der Nullstelle einer Funktion zusammenhängt. Das zweite Kapitel behandelt die Regula falsi Iteration, ein Vertreter der Einschlussverfahren. Auch hier wird zunächst die Formel hergeleitet und anschließend die Konvergenz sowie Abbruchbedingung und Fehlerabschätzung für dieses Verfahren beschrieben und bewiesen. Die folgenden zwei Kapitel behandeln das Newtonverfahren, indem zunächst im dritten Kapitel nur der eindimensionale Fall behandelt wird. Nach der Herleitung und den Voraussetzungen für Konvergenz sowie Fehlerabschätzung und Abbruchbedingung wird auch auf die Ähnlichkeiten zwischen Regula falsi und dem Newtonverfahren eingegangen. Die praktische Anwendung des Newtonverfahren wird in zwei Unterkapitel erklärt, wobei eines ein Exkurs in die Wurzelberechnung ist. Hier findet sich ein Anwendungsgebiet für die Schule, welches im letzten Kapitel nochmal beschrieben wird. Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit dem Newtonverfahren im mehrdimensionalen Raum. Danach wird die Formel mittels zweier Sätze beschrieben, wobei einer die praxisorientierte Iteration aufzeigt. Nach der praktischen Anwendung des Algorithmus wird zusätzlich eine, aus dem Newtonverfahren abgeleitete, Iteration für den zweidimensionalen Raum theoretisch und praktisch beschrieben. Da Iteration kein Teil des Lehrplans der AHS ist, wird im letzten Kapitel einige Möglichkeiten aufgezeigt, wie Iteration im Mathematikunterricht integriert werden kann.
Abstract
(Englisch)
At the start of this study, tools of multidimensional analyses and fundamental mathematical formulations used in this paper are explained. Every chapter, except for the very last one, deals with an iteration method that is described, proven theoretically, and then applied to an example. Initially, the common iteration method is depicted because all other iteration methods can be traced back to this common one. To begin with, it is explained theoretically step by step how this method works and which conditions guarantee the convergence, whereby between the theoretical explanations the applications of individual steps are demonstrated by examples and mappings. In the first chapter, the terms Lipschitz-continuous, contractive, and fixed point equation play an important role and it is shown how the fixed point of an appropriate iteration function is connected to the zero of a function. The second chapter deals with the Regula falsi algorithm, a representative of containment methods. Here too, at first the formula is derivated and then the convergence as well as conditions of truncation and error estimations for this method are described and proven. The subsequent two chapters deal with the Newton algorithm, as at first, in the third chapter, only the one-dimensional case is covered. After the derivation and requirements for convergence as well as error estimation and conditions of truncations, the similarities between Regula falsi and Newton algorithm are elaborated. The practical application of the Newton algorithm is explained in two subchapters, one of which is an excursus on radical reckoning. Here there is a field of application for schools, which is again described in the last chapter. The fourth chapter addresses the Newton algorithm in multidimensional space. Subsequently, the formula is described employing two propositions/theorems, one of which demonstrates the practice-oriented iteration. Additionally, following the practical application of the algorithm an iteration for two-dimensional space derivated from the Newton algorithm is described in theory as well as in practice. Since iteration is not part of the curriculum of AHS, some possibilities of how iteration can be integrated into math class are shown in the final chapter.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Iteration Newton algorithm Regula falsi
Schlagwörter
(Deutsch)
Iterationsverfahren Newtonverfahren Regula falsi
Autor*innen
Alexandra Uhl
Haupttitel (Deutsch)
Wie weit ist die Nullstelle noch entfernt?
Hauptuntertitel (Deutsch)
Iterationsverfahren zur Auffindung von Nullstellen nichtlinearer Funktionen
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
86 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.40 Analysis: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
AC Nummer
AC15426070
Utheses ID
49157
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 477 |