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Differentialrechnung und Differentialgleichungen
ein Querschnitt von der Differentialrechnung in der Schule bis zur Existenz und Eindeutigkeit von Differentialgleichungen
Lena Maria Harringer
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Lehramtsstudium UF Mathematik UF Biologie und Umweltkunde
Betreuer*in
Peter Raith
DOI
10.25365/thesis.55759
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-10724.54571.260658-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit umrahmt das breite Spektrum der Differentialrechnung in der Schule und befasst sich darüber hinaus noch mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für Differentialgleichungen. Der Schwerpunkt der Differentialrechnung liegt in der 7. Klasse einer AHS oder der 3. beziehungsweise 4. Klasse einer berufsbildenden höheren Schule, wie HAK oder HTL. Die Tiefe und Wichtigkeit der Differentialrechnung variiert stark mit dem Schwerpunkt der jeweiligen Schule. Diese Thematik wird im zweiten Kapitel genauer beleuchtet.
Daran anschließend wird im dritten Kapitel ein kurzer geschichtlicher Rückblick in die Entwicklung der Differentialrechnung gegeben.
Im vierten Kapitel werden Voraussetzungen diskutiert und die Theorie der Schuldifferentialrechnung aufgearbeitet. Wichtig sind hierbei die Definitionen für Differenzenquotient und Differentialquotient, sowie die verschiedenen Zugänge zur Ableitungsfunktion. Darüber hinaus sind die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit angeführt. Einen weiteren Schwerpunkt bilden die Ableitungsregeln und die dazugehörigen Beweise. Abschließend werden Anwendungsbereiche, wie die Untersuchung von Funktionen und Extremwertaufgaben, besprochen.
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz bildet das Thema des fünften Kapitels, welches sich grundlegend damit beschäftigt, ob es für Differentialgleichungen erster Ordnung eine eindeutige Lösung gibt. Untermauert wird dieser Beweis mit einem Beispiel. Des Weiteren wird die Methode der Trennung der Variable erläutert und an einem konkreten Beispiel, welches sich mit logistischem Wachstum beschäftigt, verdeutlicht.
Das letzte Kapitel dieser Diplomarbeit befasst sich mit der Beschreibung und dem Vergleich von Schulbüchern. Hierfür werden vor allem jene der 7. Klasse Oberstufe AHS, der 4. Klasse HAK beziehungsweise der 3. Klasse HTL herangezogen. Die beschrieben Buchreihen sind „Mathematik verstehen“, „Dimensionen Mathematik“, „Thema Mathematik“ und „Mathematik HTL“.
Abstract
(Englisch)
The following diploma thesis covers the wide range of differential calculus in schools. The main focus of differential calculus is addressed in the 7th form of secondary schools or in the 4th form of a vocational schools. The depth and importance of the subject matter depends on the school type and their set focus. This is dealt with in more detail within the second chapter of this thesis.
The third chapter briefly covers the historical background of the differential calculus’ development.
The fourth chapter discusses required prior nowledge and deals with the theory of differential calculus’ use in schools. Main issues in this section are definitions of the difference quotient and the differential quotient as well as different approaches concerning their understanding. Furthermore, definitions of continuity and differentiability are given and inference rules and their mathematical proofs, another main issue of this chapter, are pictured. At the end of this thesis paper, the scope of applications concerning curve sketching and exercises with extreme values are discussed.
The existence and uniqueness theory form the topic of the fifth chapter. The main question regarding this topic is whether a unique solution for a differential calculus of first order exists. Along with that focus, mathematical proof is given and an example is shown. Additionally, the method for the separation of variables is explained. An example, dealing with logistic growth illustrates that method.
The last chapter of this diploma thesis covers the description and the comparison of four different schoolbooks for a 7th form in secondary schools or a 4th form in vocational schools. The used books are: “Mathematik verstehen“, „Dimensionen Mathematik”, „Thema Mathematik.“ and “Mathematik HTL”.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
differential calculus difference quotient differential quotient continuity differentiability inference rules existence and uniqueness theory method for the seperation of variables schoolbooks
Schlagwörter
(Deutsch)
Differentialrechnung Differentialgleichungen Existenz- und Eindeutigkeitssatz Trennung der Variable Schulstoff Differenzenquotient Differentialquotient Ableitungsregeln Extremwertaufgaben Umkehraufgaben Schulbuchvergleich
Autor*innen
Lena Maria Harringer
Haupttitel (Deutsch)
Differentialrechnung und Differentialgleichungen
Hauptuntertitel (Deutsch)
ein Querschnitt von der Differentialrechnung in der Schule bis zur Existenz und Eindeutigkeit von Differentialgleichungen
Publikationsjahr
2019
Umfangsangabe
96 Seiten : Illustrationen, Diagramme
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Peter Raith
AC Nummer
AC15427021
Utheses ID
49274
Studienkennzahl
UA | 190 | 406 | 445 |