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Über die Konstruktion minimaler linearer Darstellungen von Elementen des freien Schiefkörpers (freier assoziativer Algebren)
Konrad Schrempf
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Karl Auinger
DOI
10.25365/thesis.56393
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17281.65471.337073-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Lange bevor wir uns mit der Konstruktion (des Körpers) der rationalen Zahlen (aus dem Ring der ganzen Zahlen) an der Universität beschäftigen, lernen wir in der Schule mit Brüchen zu rechnen. Bei "Zahlen" sind wir eine kommutative Multiplikation gewöhnt, z.B. 2*3= 6 = 3*2. Auf der anderen Seite --sogar noch vor dem Schreiben-- lernen wir das Sprechen mit Wörtern, die aus nicht-kommutierenden "Buchstaben" (oder Symbolen) bestehen, z.B. xy != yx (mit der Aneinanderreihung als Multiplikation). Nun, wenn wir Zahlen (eines Körpers) mit Wörtern (des freien Monoids eines Alphabets) kombinieren, erhalten wir nicht-kommutative Polynome, die einen Ring (mit "natürlicher" Addition und Multiplikation) bilden, nämlich die reie assoziative Algebra. Addieren oder multiplizieren zweier Polynome ist einfach, z.B. (2/3 xy + z) + 1/3 xy = xy + z
oder 2x(yx + 3z) = 2xyx + 6xz. Obwohl die ganzen Zahlen und die nicht-kommutativen Polynome ziemlich verschieden sind, teilen sie viele Eigenschaften,
zum Beispiel die Eindeutigkeit der Anzahl irreduzibler Faktoren: x(1-yx) = x - xyx = (1-xy)x. Allerdings ist die Konstruktion des freien Schiefkörpers (das ist der "universelle" Quotientenkörper der freien assoziativen Algebra, also das nicht-kommutative Pendant zum Körper der rationalen Zahlen) sehr schwierig, die Entwicklung der Theorie hat beinahe vier Jahrzehnte gedauert. Und bis dato --also seit weiteren knapp fünf Jahrzehnten-- war dessen praktische Anwendung kaum möglich, weil es --außer für Spezialfälle-- keine Algorithmen gab, um lineare Darstellungen ("verallgemeinerte nicht-kommutative Brüche") zu minimieren (was in etwa dem Kürzen "klassischer" Brüche entspricht). In dieser Arbeit wird eine umfassende Theorie hergeleitet, die es erlaubt, mit Elementen des freien Schiefkörpers mittels freier Brüche zu rechnen (das heißt, sie zu
addieren, multiplizieren oder --wenn ungleich Null-- invertieren). Zusätzlich werden Algorithmen entwickelt, die eine Implementierung in Computer-Algebra-Systemen ermöglichen, mit einer Vielzahl an Anwendungen.
Abstract
(Englisch)
Long before we learn to construct the (field of) rational numbers (out of the ring of integers) at university, we learn how to calculate with fractions at school. When it comes to "numbers", we are used to a commutative multiplication, for example
2*3 = 6 = 3*2. On the other hand --even before we can write-- we learn to talk (in a language) using words, consisting of purely non-commuting "letters" (or symbols),
for example xy != yx (with the concatenation as multiplication). Now, if we combine numbers (from a field) with words (from the free monoid of an alphabet) we get non-commutative polynomials which form a ring (with "natural" addition and
multiplication), namely the free associative algebra. Adding or multiplying polynomials is easy, for example (2/3 xy + z) + 1/3 xy = xy + z or 2x(yx + 3z) = 2xyx + 6xz. Although the integers and the non-commutative polynomials look rather different, they share many properties, for example the unique number of irreducible factors: x(1-yx) = x - xyx = (1-xy)x. However, the construction of the free field (this is
the "universal" field of fractions of the free associative algebra, that is, the non-commutative counterpart to the field of rational numbers) is very difficult, the development of the theory took almost four decades. And until now --that is, since almost additional five decades-- its practical application was hardly possible,
because there were --except for special cases-- no algorithms to minimize linear representations ("generalized non-commutative fractions"), corresponding to cancelling of "classical" fractions. In this work a comprehensive theory is derived that permits to calculate with elements in the free field by means of free fractions (that is, to add, multiply or --if non-zero-- invert them). Additionally, algorithms are developed which facilitate an implementation in computer algebra systems, with a multitude of applications.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
zulässige lineare Systeme Faktorisierung nicht-kommutativer Polynome Wortproblem minimale lineare Darstellungen universeller Quotientenkörper Freie Brüche nicht-kommutativer formale Potenzreihen rationale Operationen Linearisierung 7 verallgemeinerte Begleitmatrix formale Sprachen
Autor*innen
Konrad Schrempf
Haupttitel (Deutsch)
Über die Konstruktion minimaler linearer Darstellungen von Elementen des freien Schiefkörpers (freier assoziativer Algebren)
Paralleltitel (Englisch)
On the construction of minimal linear representations of elements in the free field (of free associative algebras)
Publikationsjahr
2018
Umfangsangabe
xiv, 158 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*innen
Christophe Reutenauer ,
Roland Speicher
AC Nummer
AC15427720
Utheses ID
49815
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |