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Combinatorial approaches to the asymmetric simple exclusion process
David Hirschmann
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Christian Krattenthaler
DOI
10.25365/thesis.5654
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29254.64132.947162-7
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Der “asymmetric simple exclusion process”, (ASEP), ist ein wichtiges Modell in
der statistischen Mechanik. Es beschreibt Teilchen, die entlang eines eindimensionalen
Weges mit n Plätzen nach links oder rechts wandern können. Die Teilchen können am
Rand des Systems eintreten oder es eben dort verlassen. Außerdem unterliegen sie einer
Exklusionsregel; auf Grund starker Wechselwirkungen darf sich zu jedem Zeitpunkt
höchstens ein Teilchen an jeder Stelle aufhalten.
Der ASEP gilt, unter anderem, als ein einfaches Modell für den Vorgang der Polymerisation
oder für den Verkehrsfluss. Des Weiteren wurde auch eine Verbindung zu
Orthogonalpolynomen entdeckt.
Aus kombinatorischer Sicht ist der Prozess vor allem interessant, weil die eindeutige
stationäre Verteilung Pn enge Verbindungen zu der Kombinatorik aufweist. Diese
Beobachtung ist der Ausgangspunkt dieser Arbeit, in der verschiedene kombinatorische
Zugänge zu dem ASEP präsentiert werden. Eingangs wird gezeigt, dass man die station
äre Verteilung mit Hilfe einer simplen Matrixformel ausdr¨ucken kann, mittels des
sogenannten Matrix Ansatzes. Durch Interpretation von Matrizen, die diesem Ansatz
genügen, kann man eine Verbindung zwischen den Zuständen des Prozesses und Gitterpfaden
herstellen. Die Resultate werden für einen Spezialfall des ASEP gezeigt, bei
dem sich Teilchen nur in eine Richtung fortbewegen können. Die stationäre Verteilung
kann man dann mittels Abzählen von Gitterpfaden, nämlich von One up Pfaden oder
von zweifärbigen Motzkin Pfaden, berechnen. Diese Herangehensweise kann man verallgemeinern,
und zwar mittels relativ neuer kombinatorischer Objekte, sogenannter
Permutation Tableaux und Alternative Tableaux. Untersucht man die Struktur und
Eigenschaften dieser Tableaux, kann man, wiederum mit Hilfe des Matrix Ansatzes,
Ausdrücke für die stationäre Verteilung der folgenden beiden Spezialfälle des ASEP
finden: Für den Fall, dass Teilchen in beide Richtungen wandern, aber nur an der einen
Seite eintreten und an der anderen Seite das System verlassen können, und für den recht
allgemeinen Fall, dass Teilchen in beliebige Richtungen wandern können, dies aber mit
den selben Wahrscheinlichkeiten tun.
Abstract
(Englisch)
The asymmetric simple exclusion process (ASEP) is an important model from statistical
mechanics. It describes a system of particles hopping left and right on a onedimensional
lattice of n sites. At both boundaries particles may be injected and ejected,
and the particles are subject to a strong exclusion rule which admits at most one particle
per site at each time. The ASEP is regarded as a primitive model of kinetics of
polymerization or traffic flow, and recently a connection to orthogonal polynomials was
noted too.
Furthermore, it has been observed that the unique stationary distribution Pn has
remarkable connections to combinatorics, which is the starting point of this text. Here,
we provide an overview about the work that was done investigating the combinatorics
that lie behind the process. We start by showing how the stationary distribution
can be expressed in terms of a simple matrix formulation, the so-called Matrix-Ansatz.
We shall use this matrix formulation to establish a connection between certain lattice
paths and states of a restricted version of the ASEP, where particles are only allowed
to travel in one direction. We can then express the stationary probabilities Pn in terms
of lattice paths, e.g., One up paths or bicolored Motzkin paths. Enumeration of these
paths yields the stationary distribution of the process.
One can generalize these results by making use of a fairly new class of combinatorial
objects, namely permutation tableaux or alternative tableaux. With the help of these
tableaux, we can handle more general cases as with lattice paths, like the partially
ASEP, where particles travel to both sides, but can only enter at one boundary and
leave at the opposite boundary, or the symmetric ASEP in which particles travel left
and right at same rate and enter or leave the system to both sides. Again, we rely
on the Matrix Ansatz, and, additionally, consider the combinatorics on permutation
tableaux to obtain results concerning the stationary distributions of these processes.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
exclusion process Matrix Ansatz permutation tableau alternative tableau statistical mechanics combinatorial probability lattice path transfer matrix ASEP
Schlagwörter
(Deutsch)
Exklusionsprozess Matrix Ansatz Permutation Tableau Alternative Tableau statistische Mechanik kombinatorische Wahrscheinlichkeitsrechnung Gitterpfad Transfermatrix ASEP
Autor*innen
David Hirschmann
Haupttitel (Englisch)
Combinatorial approaches to the asymmetric simple exclusion process
Paralleltitel (Deutsch)
Kombinatorische Betrachtungsweisen des Asymmetric Simple Exclusion Process
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
IX, 105 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Christian Krattenthaler
AC Nummer
AC07725171
Utheses ID
5066
Studienkennzahl
UA | 405 | | |