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Numerically solving Kolmogorov partial differential equations with variable coefficient parameters by means of deep learning
Markus Dablander
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Philipp Grohs
DOI
10.25365/thesis.57633
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13093.92274.257468-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit startet mit einer rigorosen Einführung in die Theorie des überwachten statistischen Lernens auf Basis endlicher Datensätze bestehend aus Realisierungen unabhängiger, identisch verteilter Paare von Zufallsvariablen. Im Anschluss wird die Hypothesenklasse der künstlichen neuronalen Netze in Kombination mit gradientenbasierten Trainingsverfahren als Rahmenmodell zur Lösung
statistischer Lernprobleme vorgestellt und detailliert beschrieben.
Darauf aufbauend wird die Theorie des statistischen Lernens mittels künstlicher
neuronaler Netze benutzt, um einen maschinellen Lernalgorithmus zur
numerischen Lösung der Klasse linearer parabolischer partieller Kolmogorov
Differentialgleichungen mit variablen, affin-linearen Koeffzienten zu entwickeln.
Um das korrekte Konvergenzverhalten des Algorithmus mathematisch zu verifizieren, wird eine formale Theorie aufgebaut und ein Theorem vorgeschlagen,
das die Benutzung des Algorithmus theoretisch rechtfertigt. Eine technische Beweisidee
des Theorems, basierend auf der Feynman-Kac Formel, wird entwickelt,
die den Beweis auf zwei (zu diesem Zeitpunkt unbewiesene) Lemmata reduziert,
die unabhängig untersucht werden können.
Erfolgreiche numerische Experimente werden präsentiert, die die Funktionsfähigkeit
des vorgestellten Algorithmus im Falle der Wärmeleitungsgleichung und
eines europäischen Put-Options-Preis-Modells empirisch belegen. Eine Implementierung
des Algorithmus in Python/Tensorflow wird zur Verfügung gestellt.
Abstract
(Englisch)
This work starts with a rigorous introduction to the theory of supervised
statistical learning on the basis of finite data sets consisting of realizations of independent,
identically distributed pairs of random variables. Subsequently, the
hypothesis class of artificial neural networks, along with gradient-based training
methods, is presented and described in detail as a mathematical framework for
the solution of statistical learning problems.
The theory of statistical learning via artificial neural networks is then used
to develop a machine learning algorithm for the numerical solution of the class of
linear parabolic Kolmogorov partial differential equations with variable, affine-linear
coefficients. In order to mathematically verify the correct convergence
behavior of the algorithm, a formal theory is developed and a theorem is proposed,
which theoretically justifies the use of the algorithm. A technical proof
idea of the theorem, based on the Feynman-Kac formula, is suggested, which
reduces the proof to two (currently unproven) lemmata, which can be studied
independently.
Successful numerical experiments are presented, which empirically confirm
the functionality of the proposed algorithm in the case of the heat equation and
a European put option pricing model. An implementation of the algorithm in
Python / Tensorflow is provided.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Numerical Methods for PDEs Artificial Neural Networks Statistical Learning
Schlagwörter
(Deutsch)
Numerik für PDEs Künstliche Neuronale Netze Statistisches Lernen
Autor*innen
Markus Dablander
Haupttitel (Englisch)
Numerically solving Kolmogorov partial differential equations with variable coefficient parameters by means of deep learning
Paralleltitel (Deutsch)
Numerische Lösung von Partiellen Kolmogorov Differentialgleichungen mit Variablen Koeffizientenparametern mittels Deep Learning
Publikationsjahr
2019
Umfangsangabe
99 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Philipp Grohs
AC Nummer
AC15613612
Utheses ID
50895
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |