Detailansicht

Refined counting of alternating sign arrays

Florian Aigner

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)

Betreuer*in

Ilse Fischer

Volltext herunterladen
Volltext in Browser öffnen

DOI

10.25365/thesis.58017

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-26328.59506.933452-6

Link zu u:search

(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

In den frühen 80ern präsentierten Mills, Robbins und Rumsey alternierende Vorzeichenmatrizen, kurz ASMs (aus dem Englischen ``alternating sign matrices''). ASMs zeichnen sich einerseits durch ihre Verbindungen zu weiteren kombinatorischen Objekten wie zweidimensionalen Partitionen oder Parkettierung mit Rhomben, zu verschiedenen Gebieten der Mathematik wie Darstellungstheorie oder symmetrischen Funktionen sowie zur statistischen Physik aus. Des Weiteren führt uns das Arbeiten an diesen Problemstellungen regelmäßig dazu, unser Repertoire an Methoden weiterzuentwickeln. Das wohl größte und faszinierendste Mysterium rund um ASMs ist die Tatsache, dass es drei weitere Familien von kombinatorischen Objekten gibt, die allesamt gleichmächtig zu ASMs sind, aber keine einzige explizite Bikektion zwischen diesen Familien bekannt ist. Neben ASMs sind dies alternierende Vorzeichen Dreiecke (ASTs), ``Descending plane partitions'' (DPPs) und total symmetrische selbst-komplementäre zweidimensionale Partitionen (TSSCPPs). In dieser Dissertation werden drei verfeinerte Abzählungen von ASMs bzw. von AS-Trapezen, welche eine Verallgemeinerung von ASTs sind, untersucht. Als erstes betrachten wir ``Fully packed loops'' (FPLs) in Bezug auf deren ``link pattern''. Wir benützen die Theorie der ``Wheel Polynome'' um eine Vermutung von Zuber zu beweisen, welche aussagt, dass die Anzahl der FPLs, deren ``link pattern'' aus zwei nichtkreuzenden ``Matchings'' besteht welche durch m verschachtelte Bögen getrennt sind, ein Polynom in m von bestimmten Grad und mit einem bestimmten Leitkoeffizienten ist. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird die verfeinerte Abzählung von AS-Trapezen bezüglich Catalan Objekten und Motzkin Pfaden betrachtet. Wir beweisen, dass die Anzahl der AS-Trapeze mit gegebenen Catalan Objekt bzw. Motzkin Pfad ein Polynom in der Länge der kürzeren Grundseite ist. Weiters untersuchen wir die rationalen Nullstellen dieser Polynome und leiten eine konstante Term-Identität für die verfeinerte Abzählung her. Im letzten Teil dieser Dissertation präsentieren wir eine Determinantenformel für die Q-Abzählung von ASMs, das ist eine gewichtete Abzählung von ASMs bezüglich der Anzahl der -1 Einträge. Die Berechnung einer Verallgemeinerung dieser Determinante erlaubt es uns neue Beweise für die 1-, 2- und 3-Abzählung von ASMs zu beweisen und eine Faktorisierung der 4-Abzählung zu präsentieren. Abschließend bringen wir die 1-Abzählung der verallgemeinerten Determinante mit der gewichteten Abzählung von Zyklisch symmetrischen Parkettierungen eines Sechseckes mit einem dreieckigen Loch mit Rhomben und AS-Trapezen in Verbindung.

Abstract

(Englisch)

In the early 80s, Mills, Robbins and Rumsey introduced alternating sign matrices, or short ASMs. ASMs are very remarkable since they have many connections to further combinatorial objects such as plane partitions or lozenge tilings, to different areas of mathematics such as representation theory or symmetric functions as well as to statistical physics. Further, working on problems related to ASMs constantly pushes the limits of our counting tools. The most intriguing and mysterious fact about ASMs is the existence of three further families of combinatorial objects which are equinumerous with ASMs but there is no explicit bijection between any of these family known. Beside ASMs, these are alternating sign triangles (ASTs), descending plane partitions (DPPs) and totally symmetric self-complementary plane partitions (TSSCPPs). In this thesis, I study three refined enumerations of ASMs or AS-trapezoids (the latter generalise ASTs), respectively. First, we consider fully packed loops (FPLs), which are in bijection to ASMs, with respect to their link pattern. We use the theory of wheel polynomials to prove a conjecture from Zuber which states that the number of fully packed loop configurations whose link pattern consists of two noncrossing matchings, which are separated by m nested arches, is a polynomial function in m of certain degree and with certain leading coefficient. The second part of this thesis is devoted to a refinement of AS-trapezoids, with respect to Catalan objects and Motzkin paths. We show that the number of AS-trapezoids associated to a Catalan object (resp. a Motzkin path) is a polynomial function in the length of the shorter base of the trapezoid. Further we study the rational roots of these polynomials and deduce a constant term identity for the refined counting of AS-trapezoids. In the last part of this thesis, we provide a determinant formula for the Q-enumeration of ASMs, which is a weighted enumeration of ASMs with respect to the number of -1 entries. By evaluating a generalisation of this determinant we are able to present new proofs for the 1-,2- and 3-enumeration of alternating sign matrices and a factorisation in the 4-enumeration case. Finally we relate the 1-enumeration of our generalised determinant to the weighted enumeration of cyclically symmetric lozenge tilings of a hexagon with a triangular hole and also AS-trapezoids.

Autor*innen

Florian Aigner

Haupttitel (Englisch)

Refined counting of alternating sign arrays

Paralleltitel (Deutsch)

Verfeinerte Abzählungen von alternierenden Vorzeichen Anordnungen

Publikationsjahr

2019

Umfangsangabe

x, 94 Seiten

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Christoph Koutschan ,

Matjaž Konvalinka

Klassifikation

31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie

AC Nummer

AC15613568

Utheses ID

51244

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

Detailansicht

Abstracts

Schlagwörter