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Residual finiteness in hyperbolic groups
Alexandra Edletzberger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Goulnara Arzhantseva
Mitbetreuer*in
Christopher Cashen
DOI
10.25365/thesis.60458
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-25094.56617.725477-5
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Frage, ob alle hyperbolischen Gruppen residuell endlich sind, ist offen, seit-
dem sie von Mikael Gromov in 1987 in [14] gestellt wurde, obwohl ihr schon
viel Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Vertraut man Daniel Wise’s Expertise in
[50], erwarten die meisten Forscherinnen und Forscher dieses Fachgebietes eine
negative Antwort. Darum ist die Suche nach einem Gegenbeispiel im Gange.
Ein Kandidat für eine nicht residuell endliche, aber hyperbolische Gruppe ist
die Heineken-Gruppe.
Um sie zu erforschen müssen wir zuerst die beiden fundamentalen Eigenschaften
der Hyperbolie und der residuellen Endlichkeit verstehen und equivalente Def-
initionen und Beispiele untersuchen. Außerdem ist die Hopf-Eigenschaft von
Gruppen eng mit residueller Endlichkeit verbunden, da jede endlich erzeugte,
residuell endliche Gruppe Hopf ist.
Hilfsmittel um festzustellen, ob eine endlich erzeugte Gruppe residuell endlich
ist, werden benötigt: Das erste sind die Tietze-Transformationen, deren Nutzen
anhand von einigen Beispielen illustriert wird. Darauf folgt das klassische Re-
sultat von Malcev, das bestätigt, dass alle endlich erzeugten, linearen Gruppen
residuell endlich sind. Als drittes Hilfsmittel dient die Bass-Serre-Theorie, in der
es um Gruppen geht, die auf Bäume wirken. Wir erarbeiten ihr fundamentales
Resultat, den Struktursatz.
Das dritte Kapitel widmet sich anhand von wohlbekannten Beispielen den An-
wendungen und dem Nutzen dieser Hilfsmittel. Unterschiedliche Argumente,
die beweisen, dass freie Gruppen residuell endlich sind, werden vorgestellt. Die
Familie der Baumslag-Solitar-Gruppen BS(m, n) für das Paar von ganzen Zahlen
(m, n) wird untersucht. Nicht nur alle Bedingungen an m und n, die BS(m, n)
zu einer (nicht) residuell endlichen und/oder (nicht) Hopfschen Gruppe machen,
werden ausgearbeitet, sondern auch das Isomorphismus-Problem wird gelöst.
Abschließend werden Gruppen wie die berühmte Higman-Gruppe vorgestellt, die
aufgrund des Fehlens von endlichen Quotienten nicht residuell endlich sind.
Damit ist die Basis geschaffen, um den Fokus auf die Heineken-Gruppe zu legen.
Um zu zeigen, dass sie ein valider Kandidat ist, müssen wir uns versichern,
dass sie nicht endlich (und damit trivialerweise residuell endlich) und hyper-
bolisch ist. Dafür ist das Konzept von automatischen Gruppen essentiell. Der
Algorithmus, um eine shortlex-automatische Gruppe zu finden, wird erklärt.
Nach dem Versuch mit den entwickelten Hilfsmitteln zu prüfen, ob die Heineken-
Gruppe residuell endlich ist, versuchen wir einen ersten Schritt in Richtung einer
Antwort zu machen, indem wir uns auf die Suche nach endlichen Quotienten
fokussieren. Auch hier ist computerunterstützte Gruppentheorie von Bedeutung:
Nebenklassen-Numerierung und die Niedrige-Index-Methode werden erklärt und
weitere Forschungsansätze vorgeschlagen.
Abstract
(Englisch)
The question whether all hyperbolic groups are residually finite has remained
open since Mikael Gromov posed it in 1987 in [14], although it has received a lot
of attention. Trusting Daniel Wise’s expertise in [50], most workers in the field
expect a negative answer. Thus the search for a counterexample is in progress.
One candidate for a non-residually finite, but hyperbolic group is the Heineken
group.
In order to study it, we first need to understand the two fundamental properties
of hyperbolicity and resiudal finiteness and explore equivalent definitions and
(non-)examples. Furthermore the Hopf-property of groups is closely connected,
as every finitely generated residually finite group is Hopfian.
A toolkit for determining whether a finitely generated group is residually finite
is needed: It contains the concept of Tietze transformations, whose value is
illustrated with a handful of examples. Then the classical result of Malcev affirms
the residual finiteness of finitely generated linear groups. As the third tool serves
Bass-Serre theory, which studies groups acting on trees. We work towards its
fundamental result, the Structure Theorem.
The third Chapter is dedicated to the application and benefit of these tools by
means of well-studied examples. Different arguments proving that free groups are
residually finite are explored. The family of Baumslag-Solitar groups BS(m, n)
for the integer pair (m, n) is studied. We do not only work through the conditions
on m and n that make BS(m, n) a (non-)residually finite and/or (non-)Hopfian
group, but also the Isomorphism Problem is tackled. Lastly, examples of groups
that are non-residually finite by absence of finite quotients such as the famous
Higman group are introduced.
This builds the foundation for focusing on the Heineken group. For it to be a
valid candidate, we need to make sure that it is not finite (and thus trivially
residually finite) and that it is hyperbolic. In order to do so the concept of
automatic groups is crucial. The algorithm to find a shortlex automatic structure
is explained. After trying to check the Heineken group for residual finiteness
with the tools at hand, we try to make a first step towards finding an answer
by focusing on finding finite quotients. Again, computational group theory is of
use: The Coset Enumeration and the Low Index Method are explained. Further
investigations with computational methods are suggested.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
residually finite groups hyperbolic groups Hopf property Theorem of Malcev Bass-Serre theory Baumslag-Solitar groups Higman group Heineken group computational group theory automatic groups
Schlagwörter
(Deutsch)
residuell endliche Gruppen hyperbolische Gruppen Hopf-Eigenschaft Satz von Malcev Bass-Serre-Theorie Baumslag-Solitar-Gruppen Higman-Gruppe Heineken-Gruppe Computerunterstützte Gruppentheorie Automatische Gruppen
Autor*innen
Alexandra Edletzberger
Haupttitel (Englisch)
Residual finiteness in hyperbolic groups
Paralleltitel (Deutsch)
Residuelle Endlichkeit in hyperbolischen Gruppen
Publikationsjahr
2019
Umfangsangabe
190 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Goulnara Arzhantseva ,
Christopher Cashen
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.20 Algebra: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.21 Gruppentheorie
AC Nummer
AC15700033
Utheses ID
53425
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |