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Analytic foundations of low regularity Lorentzian geometry
Emina Hadzialic
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.60673
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-10835.84681.608869-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Arbeit werden semi-Riemannsche und Lorentzsche Mannigfaltigkeiten versehen mit Metriken niedriger Regularität betrachtet und es wird gezeigt, dass Standard Resultate aus der Differentialgeometrie weiterhin ihre Gültigkeit behalten, wenn die Regularität der Metrik auf $\mathcal{C}^{1,1}$ reduziert wird. \\
Das Streben nach geringer Regularität von Seiten der Physik und Analysis, andererseits die Notwendigkeit von höherer Regularität, um die Gültigkeit von Standard Resultaten aufrecht zu erhalten, ist weit verbreitet. $\mathcal{C}^{1,1}$ Regularität kann als die optimale Regularität angesehen werden, um das gewünschte Ziel zu erreichen. \\
Unter anderem wird auch gezeigt, dass die lokale Maximierung der Länge von kausalen Geodäten schon für $\mathcal{C}^{1,1}$ Metriken gültig ist. \\
Mithilfe der Picard Lindelöf Approximation wird die starke Differenzierbarkeit der Exponential Abbildung gezeigt. Außerdem wird bewiesen, dass auf einer glatten Mannigfaltigkeit die Exponential Abbildung eines Lipschitz Zusammenhanges einen lokalen bi-Lipschitz Homeomorphismus ist. Der Beweis beruht auf einer Version des Satzes über inverse Funktionen. Anschließend wird die Existenz von konvexen normalen Umgebungen bewiesen. \\
Schlussendlich wird eine Version des Gauss-Lemmas präsentiert, in welcher die Differenzierbarkeit der Exponential Abbildung nicht benötigt wird.
Abstract
(Englisch)
In this thesis we consider semi-Riemannian and Lorentzian manifolds with metrics in low regularity and prove that many standard results of differential geometry remain valid if the regularity of the metric is reduced to $\mathcal{C}^{1,1}$. This search for low regularity from physics and analysis versus the need for higher regularity in order for the standard results from geometry to hold is widely noted. $\mathcal{C}^{1,1}$ differentiability conditions are the best choice to preserve most results in geometry. \\
In particular, we show that the local Lorentzian length maximization property of causal geodesics in the class of absolutely continuous causal curves already holds for $\mathcal{C}^{1,1}$ spacetime metrics. \\
Using a Picard-Lindelöf analysis, we can prove the strong differentiability of the exponential map at the origin. Furthermore, we establish that over a $\mathcal{C}^{\infty}$-manifold the exponential map of any Lipschitz connection constitutes a local bi- Lipschitz homeomorphism. The proof rests on a version of the inverse function theorem. We refine the pointed version of the theorem by establishing and proving the existence of convex normal neighborhoods. \\
Finally, we also state a formulation of Gauss' Lemma, which does not require the differentiability of the exponential map.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
low regularity Lorentzian geometry
Schlagwörter
(Deutsch)
niedrige Regularität Lorentzsche Geometrie
Autor*innen
Emina Hadzialic
Haupttitel (Englisch)
Analytic foundations of low regularity Lorentzian geometry
Paralleltitel (Deutsch)
Analytische Grundlagen von niedriger Regularität Lorentzsche Geometrie
Publikationsjahr
2019
Umfangsangabe
70 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Michael Kunzinger
Klassifikation
31 Mathematik > 31.49 Analysis: Sonstiges
AC Nummer
AC15700039
Utheses ID
53610
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |