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Stability analysis of infinite-dimensional phase retrieval problems
Martin Rathmair
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (Dissertationsgebiet: Mathematik)
Betreuer*in
Philipp Grohs
DOI
10.25365/thesis.61352
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-14730.45124.869561-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In zahlreichen Anwendungen kann zwar die Intensität eines wellenförmigen
Signals, nicht aber dessen Phase gemessen werden. Beispiele dafür sind etwa
bildgebende Verfahren, deren Aufgabe es ist Strukturen im Nanometerbereich
sichtbar zu machen.
Da die Phaseninformationen essentiell für die Rekunstruktion des
zugrundeliegenden Objekts ist, gilt es diese aus den vorliegenden
Intensitätsdaten zu bestimmen.
Die mathematische Formulierung solcher Experimente führt zu dem so genannten
"Phase Retrieval" Problem, eine Funktion zu bestimmen, von der lediglich die
Intensität ihrer Fouriertransformierten bekannt ist.
Wie unlängst in großer Allgemeinheit gezeigt verhalten sich
Rekunstruktionsprobleme dieser Art stets instabil. Konkret ist der
Lösungsoperator, so dieser existiert, niemals gleichmäßig stetig für "Phase
Retrieval" in unendlichdimensionalen Räumen.
Zentraler Gegenstand dieser Arbeit ist es eingehendes Verständnis über die
qualitative Beschaffenheit von Stabilitäten sowie Instabilitäten diverser "Phase
Retrieval" Probleme zu erlangen.
Das Hauptaugenmerk gilt dem Problem der Phasenrekonstruktion für die
Kurzzeit-Fourier-Transformation, oder genauer gesagt für die Gabor
Transformation. Die Hauptresultate der vorliegenden Arbeit offenbaren, dass die
Phaseninformationen der Gabor Transformierten stabil rekonstruiert werden kann,
vorausgesetzt die Messungen sind konzentriert auf einer zusammenhängenden Menge.
Diese anschauliche Beschreibung wird durch die Cheeger Konstante konkretisiert, ein Konzept, das auch für das Clustering von Graphen eine wichtige Rolle spielt.
Die verwendeten Beweismethoden bedienen sich tiefliegender Resultate aus unterschiedlichen mathematischen Gebieten wie Komplexer Analysis, Funktionalanalysis, Spektralgeometrie und Potentialtheorie.
Als Zwischenresultate werden neue Ergebnisse zu gewichteten Poincare Ungleichungen, Kompaktheit von Einbettung in gewichteten Sobolevräumen sowie über das Wachstum der logarithmischen Ableitung ganzer Funktionen in mehreren Veränderlichen bewiesen.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
phase retrieval stability Fourier spectrogram
Schlagwörter
(Deutsch)
Phasenrekonstruktion Stabilität Fourier Spektrogramm
Autor*innen
Martin Rathmair
Haupttitel (Englisch)
Stability analysis of infinite-dimensional phase retrieval problems
Publikationsjahr
2019
Umfangsangabe
100 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Philipp Grohs ,
Michael Eichmair
AC Nummer
AC15700757
Utheses ID
54211
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |