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On cutting and stacking transformations
Kathrin Peticzka
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Henk Bruin
DOI
10.25365/thesis.62880
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16298.73989.413171-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit diskutiert die Verwendung eines sogenannten "Cutting-and-Stacking"-
Prozess von bestimmten Abbildungen, die Rang-1 besitzen. Im Laufe der Kapitel,
behandeln wir die wichtigsten ergodischen Eigenschaften solcher Abbildungen
und gehen speziell auf die Konstruktion dieser ein. Den Beginn machten die zwei
Mathematiker R. V. Chacon, 1969 und S. Kakutani, 1972, als sie unabhängig von
einander die explizite Darstellung von Rang-1 Transformationen entwickelten.
Ziel war es, eigenschaften wie Mischung an solchen Abbildungen nachzuweisen.
Chacon beweiste mit seiner Konstruktion die Existenz von schwach mischenden
Rang-1 Abbildungen und etwas später in 1998 gelang es T. M. Adams zu beweisen,
dass sogenannte (Rang-1-) Stufentransformationen stark mischend sind.
In Kapitel 1, wiederholen wir einige wichtige Konzepte der Ergodentheorie
und liefern die ersten beiden Beispiele des "Cutting-and-Stacking"-Prozesses.
In Kapitel 2 definieren wir Bratteli-Diagramme. Es wird sich herausstellen,
dass jeder minimale Homeomorphismus, topologisch gesehen, isomorph zu sogenannten
Vershik-Abbildungen ist, die auf Bratteli-Diagrammen leben.
Kapitel 3 handelt von (eindeutigen) ergodischen, invarianten Maßen auf Bratteli-
Diagrammen und gibt Aufschluss über die Anzahl an ergodischen, invarianten
Maßen, die ein bestimmtes Bratteli-Diagram besitzt.
In Kapitel 4 führen wir schlussendlich die Stufentransformation ein, und beweisen
nach dem Text von T. M. Adams, dass diese stark mischend sind.
Abstract
(Englisch)
This paper discusses the use of the Cutting-and-Stacking procedure of certain
rank one transformations. Throughout the chapters we establish some important
properties of such transformations, starting with basic ergodic properties as invariance
and (uniquely) ergodicity and going further with more advanced ones
like mixing properties. This whole Theory was kicked-off by R. V. Chacon in
1969 and S. Kakutani in 1972. Both published independently an explicit construction
of rank one transformations which, in case of Chacon, is in fact weakly
mixing. For the construction of a strongly mixing rank one transformation, T.
M. Adams proved in 1998 an assumtion by M. Smorodinsky that every staircase
transformation is strongly mixing.
In Chapter 1 we recall some basic ergodic theory and already introduce the two
main Cutting-and-Stacking constructions of S. Kakutani [16] and R. V. Chacon
[10]. We also study some first mixing properties.
In Chapter 2 we establish Bratteli diagrams [9], which are a useful tool in
the field of Cantor minimal systems. It was shown in [15] that every minimal
homeomorphism is topologically conjugate to a Vershik map of an ordered Bratteli
diagram. The main theorem (Theorem 2.3.5) in this Chapter will show that
result.
In Chapter 3 we discuss ergodic invariant measures on Bratteli diagrams. We
will give an answer to the question of the number of ergodic invariant measures
for a given Bratteli diagram. Here we follow mainly a quite recent Paper of
J. Kwiatkowski, S. Bezuglyi and O. Karpel [4]. We define the class of exact
finite rank Bratteli diagrams which implies finite rank Bratteli diagrams since it
adds the requirement of having only towers of positive measure to the definition
of finite rank Bratteli diagrams. It will turn out that every exact finite rank
Bratteli diagram has a unique ergodic measure.
In Chapter 4 we introduce a new type of rank one transformations, the so
called Staircase transformations. T. M. Adams had shown in [1] and [2] that this
type of transformation is in fact strongly mixing.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Cutting and Stacking Rank One transformations
Schlagwörter
(Deutsch)
Cutting und Stacking Rang-1 Transformationen
Autor*innen
Kathrin Peticzka
Haupttitel (Englisch)
On cutting and stacking transformations
Paralleltitel (Deutsch)
Cutting und Stacking Transformationen
Publikationsjahr
2020
Umfangsangabe
v, 60 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Henk Bruin
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC15700806
Utheses ID
55582
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |