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Entropy-regularised Optimal Transport and Schrödinger’s problem
Jacob Harrison Hand
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Mathias Beiglböck
DOI
10.25365/thesis.63255
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24396.80871.220460-3
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Abschnitt 1 stellt das Problem des optimalen Transports vor und erläutert die Vorteile der Formulierung dieses Problems im Sinne der Wahrscheinlichkeits- und Maßtheorie. Im Weiteren wird diese als Kantovorich-Formulierung bezeichnet.
Diese ist besser als die ursprüngliche Formulierung , da sie die Existenz einer Lösung zeigen kann. Es ist aber immer noch nicht ideal, weil es schwierig ist das Problem direkt zu lösen (siehe 1.2.1).
Im 2. Abschnitt wird die Entropie von Wahrscheinlichkeitsmaßen eingeführt und im Kapitel 2.2.2 wird gezeigt, dass die Lösung des Entropie-regulierten Optimaltransport Problems für ϵ → 0 zur Lösung des nicht-regulierten Problems konvergiert.
Der Entropie-regulierte optimale Transport ist mit dem in Abschnitt 2.3 beschriebenen Sinkhorn-Algorithmus rechnerisch einfacher zu lösen.
Im 3. Abschnitt wird Schrödingers Problem vorgestellt und in der Sprache der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert, um zu zeigen, dass das Problem gleichwertig dem Entropie-regulierten Optimalen Transport Problem ist.
Im Abschnitt 3.1 wird das dynamische Schrödinger-Problem formuliert.
Schilder´s Theorem wird im Abschnitt 3.2 vorgestellt, es ist das Large Deviation Resultat, das verwendet wird, um den Zusammenhang des statischen Schrödinger Problems im Abschnitt 3.3 herzustellen.
Im Abschnitt 3.3 wird das statische Schrödinger Problem definiert, um die Verbindung zum Entropie-regulierten Optimalen Transport Problems herzustellen.
Abstract
(Englisch)
Section 1 introduces the Optimal Transport problem and outlines the advantages of formulating this problem in terms of probability and measure theory; this will be called the Kantovorich formulation.
While this is better than the original formulation since it indicates that a solution exists, it is still a complex problem to solve directly (see 1.2.1).
In Section 2, entropy of probability measures is introduced and it will be shown in Section 2.2.2 that the solution to the entropy-regularised Optimal Transport problem converges to the solution of the non-regularised problem as ϵ → 0.
Entropy-regularised Optimal Transport is computationally easier to solve using the Sinkhorn Algorithm, discussed in Section 2.3.
In Section 3, Schrödinger’s problem is introduced and formulated in the language of modern probability theory to show that it is equivalent to the entropy-regularised Optimal Transport problem.
In Section 3.1, the dynamic Schrödinger problem is formulated.
Schilder’s Theorem is presented in Section 3.2, it is the Large Deviation result used to make the link to the static Schrödinger problem in Section 3.3.
In Section 3.3, the static Schrödinger problem is defined to establish the connection to the entropy-regularised Optimal Transport problem.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Optimal Transport Schrödinger Problem Gamma Convergence
Schlagwörter
(Deutsch)
Optimal Transport Schrödinger Problem Gamma Konvergenz
Autor*innen
Jacob Harrison Hand
Haupttitel (Englisch)
Entropy-regularised Optimal Transport and Schrödinger’s problem
Paralleltitel (Deutsch)
Entropische Regularisierung des Optimalen Transports und Schrödingers Problem
Publikationsjahr
2020
Umfangsangabe
37 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Mathias Beiglböck
Klassifikation
31 Mathematik > 31.99 Mathematik: Sonstiges
AC Nummer
AC16149937
Utheses ID
56107
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |