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Generalisations of small cancellation
the RSym algorithm on hyperbolic one-relator group
Charlotte Hoffmann
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Goulnara Arzhantseva
Mitbetreuer*in
Christopher Cashen
DOI
10.25365/thesis.63532
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24398.60454.389653-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Masterarbeit behandelt einige Voraussetzungen an Gruppenpräsentationen, aus denen folgt, dass eine Gruppe hyperbolisch ist. Ein klassisches Beispiel aus der Small Cancellation Theorie is das Folgende: Eine Gruppe mit Präsentation $\langle \mathcal{S}|\mathcal{R}\rangle $ erfüllt die $C'(1/6)$ Voraussetzung, wenn für jedes Unterwort eines Relators $R$, das in zwei verschiedenen Elementen der Menge aller zyklisch reduzierten konjugierten Elemente von $\mathcal{R}\cup \mathcal{R}^{-1}$ vorkommt, die Länge echt kleiner ist als $1/6\left| R\right| $. Seit der Entwicklung der klassischen Small Cancellation Theorie in den 1960ern wurden viele Verallgemeinerungen und Variationen dieser Voraussetzungen veröffentlicht von denen wir zwei kürzlich erschienene vorstellen werden. Zuerst betrachten wir eine Voraussetzung für Gruppen mit genau einem Relator von Blufstein und Minian und dann den sogenannten \texttt{RSym} Algorithmus von Holt et al.
Eine Vermutung von Louder und Wilton besagt, dass Gruppen mit genau einem Relator, wobei der Relator einen Primitivrang von $3$ hat, hyperbolisch sind. Der Primitivrang eines Wortes $w$ im Alphabet $\mathcal{S}$ ist der kleinste Rang den eine Untergruppe der freien Gruppe $F(\mathcal{S})$ haben kann, sodass $w$ ein nichtprimitives Element von $H$ ist.
Wir nutzen den \texttt{RSym} Algorithmus um diese Vermutung für kleine Beispiele, also Relatoren bis zu Länge $15$, zu analysieren. Weiterhin untersuchen wir, ob der \texttt{RSym} Algorithmus für Gruppen erfolgreich ist, die nach Blufstein und Minian hyperbolisch sind.
Abstract
(Englisch)
This thesis considers several conditions on group presentations which yield hyperbolicity of a group. A classic example from small cancellation theory is the following: A group presentation $\langle \mathcal{S}|\mathcal{R} \rangle$ satisfies the $C'(1/6)$ condition if for any subword of a relator $R$ that occurs in two different elements of the set of cyclically reduced conjugates of elements of $\mathcal{R}\cup \mathcal{R}^{-1}$, the length is strictly smaller than $1/6 \left| R\right| $. Since the development of classical small cancellation theory in the 1960's, there have been published many generalisations and variations of those conditions from which we present two recent ones. First, we consider a condition for one-relator groups by Blufstein and Minian and then an algorithmic approach called \texttt{RSym} by Holt et al.
A conjecture by Louder and Wilton says that one-relator groups with a relator of primitivity rank $3$ are hyperbolic. The primitivity rank of a word $w$ in the alphabet $\mathcal{S}$ is the smallest rank that a subgroup $H$ of the free group $F(\mathcal{S})$ can have such that $w$ is a non-primitive element of $H$.
We use the \texttt{RSym} algorithm to analyse this conjecture for small examples, i.e. groups with relators of length up to $15$. Furthermore, we examine if the \texttt{RSym} algorithm succeeds on groups which are hyperbolic by Blufstein and Minian.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Small Cancellation Hyperbolicity One-Relator Group van Kampen Diagram RSym Word Problem Dehn Function Algebra Group Theory Geometric Group Theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Small Cancellation Hyperbolizität Ein-Relatoren Gruppe van Kampen Diagramm RSym Wort Problem Dehn Funktion Algebra Gruppentheorie Geometrische Gruppentheorie
Autor*innen
Charlotte Hoffmann
Haupttitel (Englisch)
Generalisations of small cancellation
Hauptuntertitel (Englisch)
the RSym algorithm on hyperbolic one-relator group
Paralleltitel (Deutsch)
Verallgemeinerungen von Small Cancellation : der RSym Algorithmus auf hyperbolischen Gruppen mit einem Relator
Publikationsjahr
2020
Umfangsangabe
40 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Goulnara Arzhantseva
Klassifikation
31 Mathematik > 31.21 Gruppentheorie
AC Nummer
AC16149694
Utheses ID
56359
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |