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Behind the scenes of the prime number theorem
Jakob Steininger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Leonhard Summerer
DOI
10.25365/thesis.63789
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-26862.78010.738971-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Eines der wohl prominentesten Theoreme des 19. Jahrhunderts aus dem Bereich der analytischen Zahlentheorie ist der Primzahlsatz, welcher die asymptotische Häufigkeit der Primzahlen beschreibt. Sein ursprünglicher Beweis, ebenso wie die überwältigende Mehrheit der modernen Beweise, nutzt Eigenschaften der L-Reihe, die einer speziellen zahlentheoretischen Funktion Lambda zugeordnet ist, um Rückschlüsse aus der Untersuchung der Reihe L_Lambda=Zeta'/Zeta zu ziehen, wobei Zeta die berühmte Riemannsche Zeta-Funktion ist. Dieser Ansatz folgt der Philosophie, Informationen über das Wachstum von F(x)=sum_{n <= x} f(n) aus analytischen Eigenschaften von L_f zu gewinnen.
Es gibt mehrere Arten diese Verbindung herzustellen und damit den Primzahlsatz zu beweisen, wobei in dieser Arbeit zwei präsentiert werden. Zunächst wird ein Beweis vorgestellt, der sehr ähnlich dem historisch ersten Beweis ist und auf Methoden der komplexen Analysis zurückgreift. Der zweite benutzt den sogenannten Taubersatz von Wiener-Ikehara. Beide Ansätze unterscheiden sich stark in den zugrunde liegenden Ideen, wodurch jeder seine Vorzüge besitzt.
Jedoch wird durch diese beiden Beweise der gesamte Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten von F(x)=sum_{n <= x} f(n) und L_f nicht geliefert, sondern vielmehr erst angedeutet. Deshalb wird in dieser Arbeit diese Verbindung genauestens erarbeitet, um ein möglichst vollständiges Bild dieser Wechselwirkung zu bieten. Beispielsweise wird die Bedeutung der Pole von L_f untersucht, die nicht notwendigerweise auf der reellen Achse liegen, wie es etwa beim Beweis des Primzahlsatzes der Fall ist. Weiters wird gezeigt, inwiefern der Primzahlsatz äquivalent zur Nicht-Existenz von Nullstellen der Zeta-Funktion auf der Geraden mit Realteil 1 ist. Diese Informationen erlauben anschließend einen präzisen Vergleich der beiden vorgestellten Beweise, wodurch eine erstaunliche Anzahl von Parallelen gefunden werden kann.
Abstract
(Englisch)
One of the most prominent results of the 19th century in the field of analytical number theory is the Prime Number Theorem, which describes the asymptotic distribution of prime numbers. Its original proof, like the overwhelming majority of modern proofs, uses properties of the L-series associated to a certain number theoretic function Lambda to draw conclusions from the investigation of the series L_Lambda=zeta'/zeta, where zeta is the famous Riemann zeta function. This approach follows the general philosophy that consists in extracting information about the growth of F(x)=sum_{n <= x} f(n) from the analytic properties of L_f.
There are several ways of establishing this connection and thus proving the Prime Number Theorem, two of which are presented in this thesis. The first proof which is introduced, is very similar to the historically first proof and uses complex analysis. The second one utilizes Tauberian theory, namely the Wiener-Ikehara Theorem. Both approaches differ greatly in their underlying ideas, thus each of them has its own advantages.
However, these two proofs do not cover the entire relationship between the asymptotic behaviour of F(x)=sum_{n <= x}f(n) and L_f, but rather only indicate it. Therefore, in the thesis this connection is further developed, in order to present the full picture of this interaction. For example, the importance of the poles of L_f, which not necessarily lie on the real axis, as it is the case when proving the Prime Number Theorem, is examined. It is also shown to what extent the Prime Number Theorem is equivalent to the absence of zeros of the zeta function on the line with real part 1. This information then allows a precise comparison of the two presented proofs, whereby an astonishing number of parallels can be found.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Prime number theorem number theory prime numbers L-series L-functions Tauberian theory
Schlagwörter
(Deutsch)
Primzahlsatz Zahlentheorie Primzahlen L-Reihen L-Funktionen Taubersatz
Autor*innen
Jakob Steininger
Haupttitel (Englisch)
Behind the scenes of the prime number theorem
Paralleltitel (Deutsch)
Hinter den Kulissen des Primzahlsatzes
Publikationsjahr
2020
Umfangsangabe
vi, 64 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Leonhard Summerer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC15759188
Utheses ID
56590
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |