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Studies in resolution of singularities in positive characteristic
a new invariant for the surface case & [and] approaches towards resolution in higher dimension
Dominique Wagner
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Herwig Hauser
DOI
10.25365/thesis.6335
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30193.94540.987254-0
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Hauptanliegen dieser Dissertation ist es, die auftretenden Phänomene bei der eingebetteten Auflösung von Singularitäten über Körpern mit positiver Charakteristik zu untersuchen.
Im ersten Abschnitt wird ein neuer und systematischer Ansatz für die eingebettete Flächenauflösung in positiver Charakteristik entwickelt, welcher derart natürlich ist, dass zumindest die Chance besteht ihn auf höhere Dimensionen verallgemeinern zu können. Dies wird durch die Einführung zweier neuer Invarianten für den induktiven Beweis der Auflösung durch eine Folge von Explosionen bewerkstelligt. Die Invarianten sind systematischer als die bereits bestehenden und ermöglichen eine transparente Argumentation. Dies könnte dazu dienen den noch immer ungelösten Fall der eingebetteten Auflösung von Dreivarietäten in positiver Charakteristik zu untersuchen. Weiters wird die Termination des beschriebenen Algorithmus zur eingebetteten Auflösung von rein inseparablen zwei-dimensionalen Hyperflächen mit Ordnung gleich der Charakteristik durch endlich viele Explosionen bewiesen.
Im zweiten Abschnitt werden neue Ideen und Herangehensweisen für die Auflösung von Varietäten mit Dimension größer als zwei, speziell Dreivarietäten, behandelt. Ein Ansatz, der hierzu untersucht wird, ist die Verallgemeinerung der Resultate aus dem ersten Abschnitt auf den Fall von Dreivarietäten. Ferner werden jene Situationen, in denen die klassische Auflösungsinvariante von Charakteristik Null bei Anwendung in positiver Charakteristik fehlschlägt, studiert. Weiters werden neue Invarianten – für Charaketristik Null sowie positive Charakteristik – untersucht.
Der letzte Abschnitt befasst sich mit grundlegenden Konstruktionen mittels étaler Umgebungen. Diese werden zum Beispiel verwendet um die Termination des im ersten Abschnitt dargestellten Auflösungsalgorithmus zu zeigen.
Abstract
(Englisch)
The main objective of this Ph.D. Thesis is to study the occurring phenomena in embedded resolution of singularities over fields of positive characteristic.
In the first part a new and systematic approach to embedded surface resolution in positive characteristic, which is so natural that it has the chance to be generalized to higher dimensions, is given. This is achieved by introducing two new invariants for the inductive proof of the resolution by a sequence of blowups. The invariants are more systematic than the existing ones, and yield a transparent reasoning.
This may facilitate to study the still unsolved case of embedded resolution of threefolds in positive characteristic. Moreover the termination of the described algorithm for the embedded resolution of purely inseparable two-dimensional hypersurfaces of order equal to the characteristic in finitely many blowups is proven.
In the second part new ideas and attempts for resolution of varieties with dimension larger than two, especially threefolds, are given. One approach that is examined within this thesis is to extend the results from the first part to the case of threefolds. Further, those situations where the classical resolution invariant from characteristic zero increases when used in positive characteristic are studied. Moreover new possible resolution invariants – both for characteristic zero and positive characteristic – are investigated.
The last part addresses some basic constructions using étale neighborhoods. They are for instance used to prove the termination of the resolution algorithm presented in the first part.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
algebraic geometry resolution of singularities positive characteristic Newton polyhedra
Schlagwörter
(Deutsch)
Algebraische Geometrie Auflösung von Singularitäten positive Charakteristik Newton Polyeder
Autor*innen
Dominique Wagner
Haupttitel (Englisch)
Studies in resolution of singularities in positive characteristic
Hauptuntertitel (Englisch)
a new invariant for the surface case & [and] approaches towards resolution in higher dimension
Paralleltitel (Deutsch)
Untersuchungen zur Auflösung von Singularitäten in positiver Charakteristik ; eine neue Invariante für den Flächenfall & [und] Ansätze für höhere Dimension
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
V, 123 S. : Ill., graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Daniel Panazzolo ,
Santiago Encinas
Klassifikation
31 Mathematik > 31.51 Algebraische Geometrie
AC Nummer
AC07452117
Utheses ID
5702
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |