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Short-time Fourier transform and modulation spaces in algebras of generalized functions
Jasmin Sahbegovic
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Michael Kunzinger
DOI
10.25365/thesis.6336
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-16405.71767.968327-6
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Im ersten Kapitel werden einige bekannte Begriffe und Resultate aus der Theorie der Modulationsr\"aume sowie aus der Theorie der Colombeau-Algebren wiederholt. Diese werden in einer Form eingef\"uhrt, die für den weiteren Gang der Dissertation am günstigsten erscheint.
Im zweiten Kapitel betrachten wir grundlegende Eigenschaften der Faltung von Elementen von Modulationsr\"aumen mit einem Gl\"atter und beleuchten die Zusammenh\"ange zwischen Multiplikation und Regularitätseigenschaften. Wir konstruieren entsprechende Colombeau Algebren sowie die zugehörigen Einbettungen von Modulationsräumen. Wir f\"uhren den Begriff der Assoziation ein um die klassischen Entsprechungen (falls vorhanden) der verallgemeinerten Funktionen/L\"osungen bestimmen zu k\"onnen.
Im dritten Kapitel zeigen wir, dass es m\"oglich ist, analoge Verallgemeinerungen von Wiener-Amalgam R\"aumen zu konstruieren. Wir zeigen, dass die wichtigsten Eigenschaften auch in diesem Setting erhalten bleiben. Zus\"atzlich konstruieren wir eine Algebra verallgemeinerter Funktionen, die gleichzeitig die Abfalleigenschaften der entsprechnden Netze in der $L^q$-Norm widerspiegelt. Wir zeigen, dass die fundamentale Characterisierung des Ideals auch hier g\"ultig bleibt, allerding nur für $p\le q$.
Im vierten Kapitel wiederholen wir zun\"achst die grundlegenden Begriffe der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren in der Theorie der Zeit-Frequenz-Analyse und untersuchen dann Abbildungseigenschaften von Operatoren mit verallgemeinerten Symbolen.
Im abschließenden f\"unften Kapitel wird die Kurzzeit-Fouriertransformation (STFT) selbst im Sinn Colombeaus verallgemeinert. Wir untersuchen die grundlegenden Eigenschaften der STFT $((V_g f)_\varepsilon(x,\omega))$ mit verallgemeinerter Funktion $f$ und verallgemeinertem Fenster $g$. Wir zeigen, dass die fundamentalen klassischen Regularitätseigenschaften auch in diesem Setting ihre G\"ultigkeit behalten.
Abstract
(Englisch)
The thesis is organized as follows: In the first chapter we recall some well-established notions and relations from both the theory of modulation spaces and of Colombeau algebras. They are presented in a form suitable for the further course of the thesis.
In the second chapter we consider basic properties of convolution of elements of modulation spaces with a mollifier, as well as connections between multiplication and regularity properties. We construct suitable Colombeau algebras and corresponding embedding maps for modulation spaces. We define the notion of association as a tool to determine classical counterparts (if available) to the generalized elements/solutions.
In the third chapter we ensure that it is possible to construct generalized algebras corresponding to Wiener-Amalgam spaces as well. We show that all the ``usual'' properties hold in this setting, too. Additionally we construct an algebra of generalized functions which simultaneously carries the information on decay properties of the nets measured in the $L^q$-norm. We show that the fundamental characterization of the ideal holds, too, but only when $p\leq q$.
In the fourth chapter we introduce the basic notions of ``classical'' theory of pseudo-differential operators in the setting of time-frequency analysis and investigate mapping properties of operators corresponding to generalized symbols.
In the fifth chapter the STFT itself is generalized in the Colombeau sense - we investigate the properties of the generalized STFT ($\big(V_{g}f\big)_\varepsilon(x,\omega)$) with generalized function $f$ and generalized window function $g$. We ensure that the basic classical regularity properties carry over to the generalized case.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Modulation spaces Colombeau algebras generalized funktions
Schlagwörter
(Deutsch)
Modulationsräume Colombeau Algebren verallgemeinerte Funktionen
Autor*innen
Jasmin Sahbegovic
Haupttitel (Englisch)
Short-time Fourier transform and modulation spaces in algebras of generalized functions
Paralleltitel (Deutsch)
Kurzzeit-Fouriertransformation und Modulationsraüme in Algebren verallgemeinerter Funktionen
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
VI, 65 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Günther Hörmann ,
Hans Vernaeve
AC Nummer
AC07452156
Utheses ID
5703
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |