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The wave equation in hyperboloidal similarity coordinates
Matthias Ostermann
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Roland Donninger
DOI
10.25365/thesis.64694
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13197.34784.494769-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Wir präsentieren eine Konstruktion von Energienormen für die radiale Wellengleichung in ungeraden Raumdimensionen in einem kürzlich entwickelten Koordinatensystem, genannt hyperboloidal similarity coordinates. Unsere Strategie verwendet die bekannte Transformation der radialen Wellengleichung in ungeraden Raumdimensionen auf die eindimensionale Wellengleichung. Der Schlüssel dabei ist das Verständnis dieser Reduktion in den neuen Koordinaten in Schritten von zwei Dimensionen. Wir beweisen Abbildungseigenschaften der zugehörigen Operatoren und erhalten zu Sobolevnormen äquivalente Energienormen, welche zugleich gute Wachstumsabschätzungen für die freie Wellenevolution geben. Daraus folgen Existenz und Energieabschätzungen für Lösungen der freien Wellengleichung in hyperboloidal similarity coordinates. Dies liefert für weitere Anwendungen passende Topologien, welche neue Möglichkeiten zur Untersuchung der Stabilität von selbstähnlichem Blowup in Wellengleichungen auf der globalen Raumzeit durch hyperboloidal similarity coordinates eröffnen.
Abstract
(Englisch)
We present a construction of energy norms for the radial wave equation in odd space dimensions in a recently developed coordinate system called hyperboloidal similarity coordinates. Our strategy adopts the well-known transformation of the radial wave equation in odd space dimensions to the one-dimensional wave equation. The key is to understand this reduction in the new coordinate system as an operation in steps of two space dimensions. We prove mapping properties for the associated operators and obtain energy norms that are equivalent to Sobolev norms and at the same time exhibit good growth estimates for the free wave evolution. As a result, existence of solutions and energy bounds for the free wave evolution in hyperboloidal similarity coordinates follow. As an outline for further applications, this provides suitable topologies which open the door for a rigorous study of stability of self-similar blowup in wave equations on the whole spacetime through hyperboloidal similarity coordinates.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equation hyperboloidal similarity coordinates
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichung hyperboloidal similarity coordinates
Autor*innen
Matthias Ostermann
Haupttitel (Englisch)
The wave equation in hyperboloidal similarity coordinates
Publikationsjahr
2020
Umfangsangabe
32 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Roland Donninger
Klassifikation
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen
AC Nummer
AC16177353
Utheses ID
57402
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |