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Fusion frames and operators

Lukas Köhldorfer

Art der Arbeit

Masterarbeit

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Masterstudium Mathematik

Betreuer*in

Peter Balazs

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DOI

10.25365/thesis.69552

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-11092.03815.833437-3

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Frames sind Familien von Vektoren in einem (separablen) Hilbertraum H, die den Begriff der Orthonormalbasis verallgemeinern und es ermöglichen, Vektoren im Raum H auf uneindeutige, redundante und numerisch stabile Art und Weise darzustellen bzw. zu rekonstruieren. Die eben genannten Eigenschaften von Frames kommen bei einer Vielzahl von Anwendungen, wie zum Beispiel Bild- und Sig- nalverarbeitung, drahtlose Kommunikation, Datenkomprimierung oder Abtastungs- Theorie, zu tragen. Zusätzlich benötigen manche Anwendungen (− etwa um große Datenmengen von numerischen Berechnungen verarbeiten zu können; oder die Anwendungen selbst −) eine verteilte Datenverarbeitung. Dies führt auf kanonische Art und Weise zum Konzept der Fusion Frames, welches das zentrale Thema dieser Arbeit ist. In dieser Arbeit motivieren und wiederholen wir zuerst die Grundprinzipien der Frame Theorie und erwähnen einige ihrer Anwendungen. Anschließend untersuchen wir direkte Hilbertsummen − diese sind die Darstellungsräume für Fusion Frames − und sammeln einige Resultate über diese Objekte und komponententreue Operatoren zwischen ihnen, die − zumindest teilweise − noch nicht in der Fachliteratur veröffentlicht wurden. Nach diesen beiden vorbereitenden Kapiteln präsentieren wir die grundlegenden Begriffe der Theorie der Fusion Frames, bevor wir das eine oder andere neue Resultat im Zusammenhang mit Fusion Frames und Fusion Frame- Systemen mit Hilfe von Operatorenidentitäten, welche wir mit den oben genannten Resultaten über komponententreue Opertoren zwischen direkten Hilbertsummen herleiten werden, beweisen. Danach diskutieren wir den Aspekt der Dualität im Zusammenhang mit Fusion Frames, was auf natürliche Art und Weise zu Untersuchungen von beliebigen beschränkten Operatoren zwischen direkten Hilbertsummen führt. Wir stellen diese Operatoren durch unendliche Matrizen von Operatoren dar, was nicht nur hilfreich ist, um diese Objekte intuitiv besser verstehen zu können, sondern uns auch ermöglicht, einige nützliche und auch neue Resultate hinsichtlich Beschränktheit oder Kompaktheit in Zusammenhang mit den Operatoren in den Matrixdarstellungen zu beweisen. Schlussendlich wenden wir die letztgenannten Resultate auf Fusion Frames an und können dadurch das Konzept der Fusion Frame Multiplikatoren in einem Rahmen präsentieren, der allgemeiner ist als jener in der bisher veröffentlichten Fachliteratur zu diesem Thema. Dies gestattet nicht nur eine reichhaltigere Theorie, sondern ermöglicht uns auch, mehr der Schlüsselresultate aus der Theorie der Frame Multiplikatoren zu verallgemeinern.

Abstract

(Englisch)

Frames are families of vectors in a (separable) Hilbert space H, which generalize the notion of an orthonormal basis and provide the possibility to represent and re- construct vectors in H in a non-unique, redundant and stable way. These properties of frames are desired for a vast number of applications, e.g. signal and image pro- cessing, wireless communications, data compression or sampling theory. However, some applications (− for instance, to handle huge amounts of data coming from numerical computations; or the applications themselves −) additionally require dis- tributed processing techniques. This naturally leads to the concept of fusion frames, which is the central topic of this work. In this thesis, at first we motivate and recall the basic concepts of frame theory and mention some of its applications. Then we investigate Hilbert direct sums − since they are the representation spaces for fusion frames − and collect some results about these objects and component preserving operators between them, which − at least partly − have not been published in literature yet. After these two preparing chapters we present the basic notions and some of the fundamental results for the theory of fusion frames, before we prove some new results for fusion frames and fu- sion frame systems in terms of the above mentioned component preserving operators and operator identities involving these. After that we discuss the aspect of duality for fusion frames, which naturally leads to the study of general bounded operators between Hilbert direct sums. These operators will be represented by infinite ma- trices of operators, which not only helps to understand these objects better in an intuitive way, but also enables us to prove some convenient new results concerning boundedness and compactness in terms of the operators occurring in the matrix representations. Finally, we apply the latter results to fusion frames and thus are able to present the concept of fusion frame multipliers in a more general set up than it has been discussed in literature before. This not only allows for a richer theory, but also enables us to generalize more of the key results for frame multipliers.

Autor*innen

Lukas Köhldorfer

Haupttitel (Englisch)

Fusion frames and operators

Paralleltitel (Deutsch)

Fusion Frames und Operatoren

Publikationsjahr

2021

Umfangsangabe

106 Seiten

Sprache

Englisch

Beurteiler*in

Peter Balazs

Klassifikationen

31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis ,

31 Mathematik > 31.47 Operatortheorie

AC Nummer

AC16263886

Utheses ID

59000

Studienkennzahl

UA | 066 | 821 | |

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Schlagwörter