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The monotone triangle perspective on alternating sign arrays
operator formulae and constant term expressions
Hans Höngesberg
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)
Betreuer*in
Ilse Fischer
DOI
10.25365/thesis.69924
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11138.89057.943313-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Mills, Robbins und Rumsey stellten in den späten 1980er Jahren eine Vermutung über eine einfache Produktformel für die Anzahl alternierender Vorzeichenmatrizen auf, die für über ein Jahrzehnt offen blieb. Erst im Jahre 1996 gelang Zeilberger ein Beweis mit Hilfe von Ausdrücken durch konstante Terme. Wenig später legte Kuperberg einen kürzeren Beweis mit Methoden aus der statistischen Mechanik vor, die seitdem die Erforschung alternierender Vorzeichengebilde dominieren. Jedoch hat Fischer mit einer Operatorenformel für monotone Dreiecke den Ausgangspunkt für einen neuen Zugang zur Abzählung alternierender Vorzeichengebilde geschaffen.
In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir alternierende Vorzeichentrapeze aus der Sicht monotoner Dreiecke. Zuerst stellen wir jeweils vier Statistiken auf alternierenden Vorzeichentrapezen sowie spaltenweise streng monoton fallenden und verschobenen ebenen Partitionen einer festen Klasse vor und beweisen, dass die gemeinsamen Verteilungen dieser Statistiken übereinstimmen, womit wir ein jüngeres Ergebnis von Fischer verallgemeinern. Dann konstruieren wir für einen Spezialfall eine gewichtserhaltende Bijektion zwischen jenen beiden Objektklassen. Schließlich stellen wir eine Operatorenformel für halbierte monotone Dreiecke auf, mit der wir Ausdrücke durch konstante Terme für die gewichtete Abzählung vertikalsymmetrischer alternierender Vorzeichentrapeze herleiten. Dies ist ein erster Schritt zum Beweis einer Vermutung von Ayyer, Behrend und Fischer über die verfeinerte Abzählung vertikalsymmetrischer alternierender Vorzeichendreiecke sowie vertikalsymmetrischer alternierender Vorzeichenmatrizen.
Abstract
(Englisch)
In the early 1980s, Mills, Robbins, and Rumsey conjectured a simple product formula for the number of alternating sign matrices, which remained unproven for over a decade. The conjecture was first proved by Zeilberger in 1996 using constant term expressions. Shortly thereafter, Kuperberg presented a shorter proof exploiting methods from statistical mechanics which have since become the dominating techniques in the research of alternating sign arrays. Fischer, however, initiated a new approach to enumerating alternating sign arrays by establishing an operator formula for monotone triangles.
In this thesis, we use the monotone triangle perspective to study alternating sign trapezoids. First, we present four statistics on alternating sign trapezoids as well as on column strict shifted plane partitions of a fixed class and prove that the joint distributions of these statistics coincide, thereby generalising a recent result by Fischer. We then construct in a special case weight-preserving bijections between these classes of objects. Finally, we establish an operator formula for halved monotone triangles which we use to derive constant term expressions for the weighted enumeration of vertically symmetric alternating sign trapezoids. This is a first step towards the proof of a conjecture by Ayyer, Behrend, and Fischer about the refined enumeration of vertically symmetric alternating sign triangles and vertically symmetric alternating sign matrices.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
alternating sign matrices alternating sign trapezoids monotone triangles
Schlagwörter
(Deutsch)
alternierende Vorzeichenmatrizen alternierende Vorzeichentrapeze monotone Dreiecke
Autor*innen
Hans Höngesberg
Haupttitel (Englisch)
The monotone triangle perspective on alternating sign arrays
Hauptuntertitel (Englisch)
operator formulae and constant term expressions
Paralleltitel (Deutsch)
Alternierende Vorzeichengebilde aus der Sicht monotoner Dreiecke
Publikationsjahr
2021
Umfangsangabe
xvi, 88 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
David Bressoud ,
Jessica Striker
Klassifikation
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
AC Nummer
AC16263771
Utheses ID
59605
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |