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Symmetric spaces and their compactifications
Paul Zellhofer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Andreas Cap
DOI
10.25365/thesis.67280
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-20501.20806.552871-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit hat zum Ziel, eine Einführung in die Theorie Riemannscher symmetrischer Räume mit besonderem Augenmerk auf nicht-kompakte Räume zu geben. Ausgehend von ihrer klassischen Theorie im Rahmen von Riemannscher Geometrie und Lie-Theorie wird eine Korrespondenz zwischen symmetrischen Räumen und einer bestimmten Art reeller Lie-Algebren entwickelt. Diese Methode ermöglicht eine vollständige Klassifizierung symmetrischer Räume und zeigt die Existenz der ausgezeichneten Klasse der symmetrischen Räume vom nicht-kompakten Typ, die aus vollständigen, einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit nicht-positiver Schnittkrümmung besteht. In diesem Kontext ergibt sich die Frage, wie solche Räume kompaktifiziert werden können. Im Allgemeinen gibt es viele Ansätze zu diesem Problem, was die Frage aufwirft, wie unterschiedliche Kompaktifizierungen miteinander verglichen werden können. Der Hauptteil der Arbeit ist der Beschreibung verschiedener Methoden der Kompaktifizierung symmetrischer Räume vom nicht-kompakten Typ gewidmet und vergleicht diese in den konkreten Beispielen des hyperbolischen Raumes sowie offenen Bahnen in Graßmann-Mannigfaltigkeiten. Diese Räume stellen eine wichtige Familie symmetrischer Räume dar und können mit einer Vielzahl an Werkzeugen der Riemannschen Geometrie, Lie-Theorie und linearen Algebra untersucht werden.
Abstract
(Englisch)
The aim of this thesis is to provide an introduction to the theory of Riemannian symmetric spaces with a particular view towards non-compact spaces. Starting from their classical theory in the setting of Riemannian geometry and Lie theory, we develop a correspondence between symmetric spaces and a certain type of real Lie algebras. This method leads to a complete classification of symmetric spaces and gives rise to the distinguished class of symmetric spaces of the non-compact type consisting of complete, simply connected Riemannian manifolds of non-positive sectional curvature. The question how such spaces can be compactified arises naturally in this context. In general, there are many approaches to this problem, which raises the issue of relating compactifications obtained by different methods. The core of this thesis is devoted to describing various methods of compactification of symmetric spaces of the non-compact type and to compare them in the concrete examples of hyperbolic space and open orbits in Grassmannian manifolds. These spaces provide an important class of symmetric spaces and can be studied with a wide range of tools from Riemannian geometry, Lie theory and linear algebra.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
symmetric spaces Riemannian geometry Lie groups Lie algebras compactifications
Schlagwörter
(Deutsch)
symmetrische Räume Riemannsche Geometrie Lie-Gruppen Lie-Algebren Kompaktifizierungen
Autor*innen
Paul Zellhofer
Haupttitel (Englisch)
Symmetric spaces and their compactifications
Paralleltitel (Deutsch)
Symmetrische Räume und ihre Kompaktifizierungen
Publikationsjahr
2021
Umfangsangabe
iii, 96 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Andreas Cap
AC Nummer
AC16255708
Utheses ID
59607
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |