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Blow-up Phenomena on Friedman-Lemaître-Robertson-Walker spacetimes
Liam Dylan Urban
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
David Miro Fajman
DOI
10.25365/thesis.70176
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11175.37693.211067-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) Raumzeiten spielen eine zentrale Rolle in der Kosmologie, da sie das beobachtbare Universum auf großen Skalen annähernd beschreiben. Schlussendlich würde man gerne verstehen, ob die Art und Weise, wie in diesen Zeiten ein Urknall auftritt, unter Störung innerhalb der Einstein Gleichungen stabil ist in Anwesenheit von Materie, z.B. modelliert durch ein Skalarfeld oder in Form einer steifen Flüssigkeit. Als erster Schritt in Richtung dieser Problematik beschäftigt sich diese Arbeit mit dem Blow-up-Verhalten von skalaren Wellen in Richtung des Urknalls auf einem fixierten FLRW Hintergrund bei nicht-positiver räumlicher sektionaler Krümmung.
Hierfür werden Energieabschätzungen entwickelt, die an die jeweiligen Geometrien angepasst sind. Zusammen mit etwas Sobolev- und Elliptizitätstheorie auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten ermöglichen sie es, gleichmäßige punktweise obere Schranken für (reskalierte) Wellen zu finden, die zur Urknall-Hyperfläche fortgesetzt werden können. Insbesondere erlaubt das, einen glatten Grenzwert für die um die (vermutete) führende Ordnung reskalierte Welle zu extrahieren. Zuguterletzt werden für FLRW Raumzeiten, deren Expansion von einer idealen, aber nicht steifen Flüssigkeit angetrieben wird, hinreichende Bedingungen aufgestellt, die Blow-up von genau dieser führenden Ordnung sicherstellen, falls die L2-Anfangsdaten auf einer raumartigen Hyperfläche nahe der Singularität ausreichend von geschwindigkeitsartigen Termen dominiert werden. Diese Analyse läuft konzeptuell oft parallel zu den Methoden und Ideen, die zuerst in [1] präsentiert wurden, aber verallgemeinert sie nicht nur signifikant durch die zusätzliche Betrachtung von kappa = −1 anstatt nur kappa = 0 sowie die teilweise Ausweitung der Analyse auf steife Flüssigkeiten, sondern auch dadurch, dass eine größere Klasse von Lorentz-Mannigfaltigkeiten betrachtet wird, die zwar ähnlich zu FLRW Raumzeiten sind, aber keine zusätzlichen Bedinungen an die Geometrie der zugrundeliegenden räumlichen Riemannschen
Mannigfaltigkeit stellen.
Abstract
(Englisch)
Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) spacetimes play a central role within cosmology since they are believed to roughly describe the observable universe at large scales. Ultimately, one would like to understand whether the Big Bang formation these spacetimes
exhibit is stable when perturbing around them within the Einstein Scalar-Field and Stiff-Fluid equations. As a first step approaching this complicated issue, this thesis is concerned with the blow-up behaviour of scalar waves towards the Big Bang singularity on a fixed FLRW background with zero or negative spatial sectional curvature.
To this end, energy estimates adapted to the respective geometries will be developed that, along with some Sobolev space and ellipticity theory on Riemannian manifolds, allow for uniform pointwise bounds on (rescaled) waves that extend to the Big Bang hypersurface. In particular, this will enable us to extract a smooth limit of the wave rescaled by its suspected leading order. Finally, for FLRW spacetimes governed by an ideal fluid that isn’t stiff, sufficient conditions will be established such that blow-up of precisely this order can be achieved if the L2-initial data is sufficiently dominated by velocity terms for a
hypersurface close enough to the singularity. The analysis conceptually often parallels the methods and ideas first presented in [1], but significantly generalizes them not only by additionally analyzing the case of negative sectional curvature instead of only kappa = 0
as well as that stiff fluids as far as possible, but also since a wider class of Lorentzian manifolds is considered where any curvature and homogeneity assumptions on the spatial geometry are dropped.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Wave equations Blow-up asymptotic analysis partial differential equations geometric analysis mathematical relativity
Schlagwörter
(Deutsch)
Wellengleichungen Blow-up asymptotische Analyse Partielle Differentialgleichungen geometrische Analysis Mathematische Relativitätstheorie
Autor*innen
Liam Dylan Urban
Haupttitel (Englisch)
Blow-up Phenomena on Friedman-Lemaître-Robertson-Walker spacetimes
Paralleltitel (Deutsch)
Blow-up Phänomene auf Friedman-Lemaître-Robertson-Walker Raumzeiten
Publikationsjahr
2021
Umfangsangabe
68 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
David Miro Fajman
AC Nummer
AC16463890
Utheses ID
60089
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |