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Laguerre Geometry
Ruzica Mijic
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) UF Darstellende Geometrie UF Mathematik
Betreuer*in
Christian Müller
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Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
DOI
10.25365/thesis.69448
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11191.37323.665079-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract
(Deutsch)
Nach Felix Kleins Erlanger Programm ist eine Geometrie die Invariantentheorie einer bestimmten Transformationsgruppe. So untersucht beispielsweise die wohlbekannte euklidische Geometrie Invarianten unter der Gruppe der Euklidischen Bewegungen. Analog dazu befasst sich die weniger bekannte Laguerre-Geometrie - der die vorliegende Arbeit gewidmet ist - mit Invarianten der Gruppe der sogenannten Laguerre-Transformationen. Charakterisierend für diese ist, dass sie orientierte Hyperebenen, orientierte Hyperkugeln und deren orientierten Kontakt erhalten. Je nachdem in welchem Raum diese Transformationen operieren, unterscheiden wir zwischen hyperbolischer, elliptischer und euklidischer Laguerre-Geometrie. Diese werden wir hauptsächlich in Quadrikenmodellen behandeln, in denen orientierte Hyperebenen bzw. Hyperkugeln mit Punkten auf bzw. innerhalb einer ausgezeichneten Quadrik, der sogenannten Laguerre-Quadrik, identifiziert werden können. In diesem Sinne können Laguerre-Transformationen zu projektiven Transformationen “gehoben” werden, die diese Quadrik erhalten. Hierfür ist es offensichtlich notwendig, einige Grundlagen zur projektiven Geometrie und insbesondere zu Quadriken zu wiederholen, sowie einige neue Werkzeuge zum Arbeiten in Quadrikenmodellen einzuführen. Dies wird in einem vorbereitenden Kapitel vorgenommen. Für hyperbolische und elliptische Laguerre-Geometrie sind die zugehörigen Quadrikenmodelle ähnlich, da die entsprechenden Laguerre-Quadriken nicht degeneriert sind. Daher werden wir diese nicht-Euklidischen Geometrien in einem gemeinsamen Kapitel behandeln. Für euklidische Laguerre-Geometrie ist die Quadrik degeneriert, was das zugehörige Modell etwas komplizierter macht. Daher behandeln wir diesen Fall in einem separaten Kapitel. Hier werden wir zusätzlich auf ein weiteres Modell der euklidischen Laguerre-Geometrie eingehen, nämlich auf das zyklographische Modell, welches bereits von früheren Generationen studiert worden ist (siehe z.B. [1]). Insbesondere im gründlicher erforschten ebenen Fall werden hier Kreise bzw. Geraden der Ebene mit Punkten bzw. Ebenen des Raumes identifiziert. Eine weitere Möglichkeit, Laguerre-Geometrie zu betrachten, ist als Teilgeometrie der Lie-Geometrie, welche ebenfalls in einem Quadrikenmodell behandelt werden kann. Die Punkte der sogenannten Lie-Quadrik repräsentieren orientierte Hyperkugeln, orientierte Hyperebenen und Punkte des Raumes, in dem die Lie-Geometrie “lebt”. Die Laguerre- Quadrik ist damit in der Lie-Quadrik als Menge aller Punkte, die orientierten Hyperebenen entsprechen, enthalten und kann als Schnitt dieser mit einer Hyperebene dargestellt werden. In diesem Sinne sind Laguerre-Transformationen spezielle Lie-Transformationen, nämlich jene, die orientierte Hyperebenen erhalten. Daher werden wir in Kapitel 5 zeigen, wie man die Laguerre-Quadrik in die Lie-Quadrik einbettet. Abschließend behandeln wir einige ausgewählte Anwendungen, um die Vorteile des Arbeitens mit Laguerre-Geometrie zu demonstrieren. Dadurch soll das Forschungspotential dieser Geometrie aufgezeigt werden, ohne ins Detail zu gehen, da es das Hauptanliegen der vorliegenden Arbeit ist, einen Überblick über die Theorie der Laguerre-Geometrie zu geben.
Abstract
(Englisch)
According to Felix Klein’s Erlangen program geometry is the study of invariants under a certain group of transformations. For example for Euclidean geometry this is the well-known Euclidean group. Analogously the less-known Laguerre geometry - which this thesis is dedicated to - is the study of invariants under the group of Laguerre transformations. Their characterizing property is that they preserve oriented hyperspheres, oriented hyperplanes and their oriented contact. Depending on the space on which those transformations operate, we will deal with hyperbolic, elliptic and Euclidean Laguerre geometry. To do this, we use quadric models, where we can identify oriented hyperplanes with points on and oriented hyperspheres with planar sections of a given quadric, the so-called Laguerre quadric. Laguerre transformations then can be lifted to projective transformations which preserve this quadric. For this purpose it is necessary to review some basics on projective geometry and quadrics, as well as introduce some tools for the work in quadric models. This will be done in a preliminary chapter. For hyperbolic and elliptic Laguerre geometry the quadric models are very similar, since the corresponding Laguerre quadrics are both non-degenerate. Thus we will treat those non-Euclidean Laguerre geometries in a common chapter. For Euclidean Laguerre geometry the quadric is degenerate, making this model slightly more complicated. For this reason, we treat this case in a separate chapter. Here, we will also deal with another model of Euclidean Laguerre geometry, namely the cyclographic model, which has already been treated by earlier generations (see e.g., [1]). Particularly for the more thoroughly studied planar case, circles and lines of the plane are identified with points and planes of the space, respectively. Another perspective on Laguerre geometry will be given as subgeometry of Lie geometry, which can also be treated in a quadric model. The points of the so-called Lie quadric represent oriented hyperspheres, oriented hyperplanes and points in the space that the Lie geometry “lives” in. The Laguerre quadric can then be recovered as a hyperplanar section of the Lie quadric, containing all the points of it that correspond to oriented hyperplanes. In this sense Laguerre transformations are special Lie transformations, preserving oriented hyperplanes. Therefore we will show how to embed the Laguerre quadric into the Lie quadric in Chapter 5. Finally, we shall give some chosen applications to show the benefits of working with Laguerre geometry. With this we want to show the potential of research on this geometry, without going into detail since the main goal of this thesis shall remain to give an overview of various models of Laguerre geometries.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
Laguerre geometry sphere geometry quadric model projective geometry
Schlagwörter
(Deutsch)
Laguerre-Geometrie Kreis-/ Kugelgeometrie Quadrikenmodell projektive Geometrie
Autor*innen
Ruzica Mijic
Haupttitel (Englisch)
Laguerre Geometry
Paralleltitel (Deutsch)
Laguerre-Geometrie
Publikationsjahr
2021
Umfangsangabe
v, 73 Seiten : Diagramme
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Christian Müller
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.50 Geometrie: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.59 Geometrie: Sonstiges
AC Nummer
AC16419923
Utheses ID
60278
Studienkennzahl
UA | 199 | 505 | 520 |
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