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The history of partitions
from Euler's beginnings to the Rogers-Ramanujan identities
Lukas Stöckl
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Markus Fulmek
DOI
10.25365/thesis.70302
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11196.30306.867883-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Theorie der Partitionen begann mit dem berühmten Mathematiker Leonhard Euler, der die Frage gestellt bekam, wie viele Partitionen es von 50 in 7 unterschiedliche Teile gibt. Er löste dieses Problem mit erzeugenden Funktionen und war danach an der erzeugenden Funktion für Partitionen von n, deren Anzahl mit p(n) angegeben wird, interessiert. Danach untersuchte er die reziproke Funktion der erzeugenden Funktion von p(n) und formulierte als Ergebnis den Pentagonalzahlensatz bekannt ist. Ein weiterer wichtiger Mathematiker in diesem Gebiet war J.J. Sylvester, dessen Ansatz Partitionen graphisch darzustellen eine große Innovation war und einen neuen Zugang ermöglichte.
In dieser Arbeit beweisen wir mit erzeugenden Funktionen und der graphischen Darstellung von Partitionen einige Identitäten von Partitionen, wie zum Beispiel, dass die Anzahl der Partitionen von n in ungerade und verschiedene Teile gleich der Anzahl von selbstkonjugierten Partitionen von n ist. Beim Betrachten von Partitionen mit unterschiedlichsten Einschränkungen und Eigenschaften nutzen wir erzeugenden Funktionen mit zwei Variablen, arbeiten mit hypergeometrischen Funktionen und treffen auf Gauß'sche Polynome und Jacobi's Tripleprodukt Identität. Diese Identität ist der Schlüssel um das Hauptthema des letzten Abschnittes zu beweisen; die Rogers-Ramanujan Identitäten. Zum Schluss beweisen wir eine ihrer Verallgemeinerungen, die auf Gordon zurückgeht.
Abstract
(Englisch)
The theory of partitions started with the famous mathematician Leonhard Euler, who was asked how many partitions there are of 50 into 7 distinct parts. He solved this problem using generating functions and was then interested in the generating functions for partitions of n, whose number of partitions is given by p(n). After that, he studied the reciprocal of the generating function of p(n), the result was Euler's pentagonal number theorem. The next important mathematician in this topic was J.J. Sylvester, his approach to consider partitions graphically was a huge innovation and gave a new point of view. Using the theory of generating functions and the graphical representation of partitions we prove several partition identities, for example that the number of partitions of n into odd and distinct parts is equal to the number of self-conjugate partitions of n. Considering partitions with some restrictions and properties lead us to two variable generating functions, where we have to handle hypergeometric functions and come across Gaussian polynomials and Jacobi's triple product identity. This identity will be the key for proving the major result of the last part; The Rogers-Ramanujan identities. Finally we prove a generalization of them, which was the work of Gordon.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
Partitions Rogers-Ramanujan identities Euler
Schlagwörter
(Deutsch)
Partitionen Rogers-Ramanujan Identitäten Euler
Autor*innen
Lukas Stöckl
Haupttitel (Englisch)
The history of partitions
Hauptuntertitel (Englisch)
from Euler's beginnings to the Rogers-Ramanujan identities
Paralleltitel (Deutsch)
Die Geschichte der Partitionen
Paralleluntertitel (Deutsch)
von Euler's Anfängen zu den Rogers-Ramanujan Identitäten
Publikationsjahr
2021
Umfangsangabe
53 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Markus Fulmek
Klassifikation
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie
AC Nummer
AC16469713
Utheses ID
60349
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |