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The linearization principle in infinite dimensional algebraic geometry
Clemens Bruschek
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Herwig Hauser
DOI
10.25365/thesis.6768
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29928.01444.601161-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit dem Linearisierungsprinzip in der
algebraischen und lokal analytischen Geometrie.
Zunächst wird der von Hauser und Müller bewiesene Rangsatz für analytische Abbildungen zwischen Räumen konvergenter Potenzreihen auf eine rein algebraische Situation erweitert: Es wird der entsprechende Rangsatz für eine neue Klasse von Abbildungen zwischen Potenzreihenringen (über Körpern der Charakteristik Null), sogenannten textilen Abbildungen, bewiesen. Ein Spezialfall sind Abbildungen, die durch Substitution von Potenzreihen induziert werden. Weitere Varianten des Rangsatzes beinhalten eine parametrische Version sowie einen Rangsatz für Potenzreihen mit Koeffizienten in einem Testring (im Wesentlichen ein lokaler Ring mit nilpotentem maximalem Ideal).
Die entwickelte Theorie für textile Abbildungen wird verwendet, um zu zeigen, dass zahlreiche wichtige Resultate der Singularitätentheorie direkte Folgerungen oder Spezialfälle des Linearisierungsprinzips, d.h. des entsprechenden Rangsatzes, sind. Darunter fallen etwa ein Satz über die Trivialisierung von Jet Spaces, das Grinberg-Kazhdan-Drinfeld Formal Arc Theorem, ein Umkehrsatz von Lamel-Mir, Tougeron's Satz über Implizite Funktionen und die Approximationssätze von Artin und Wavrik.
Im zweiten Teil der Arbeit werden Ansätze und Ideen zum Studium der Nullstellenmengen von textilen Abbildungen, sogenannten Filzen, erörtert. Dies führt zu Untersuchungen von Polynomringen in abzählbar vielen Variablen und deren Quotienten. Wichtigstes Beispiel stellen hier die Arc Spaces dar.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Menge aller Punkte einer Varietät, in denen sie normale Kreuzung ist. Durch Konstruktionen mit etalen Umgebungen wird gezeigt, dass diese Menge offen ist. Die gleiche Frage wird für andere geometrische Problemstellungen behandelt, die zum Teil Anwendungen in der Auflösung von Singularitäten haben.
Abstract
(Englisch)
The main objective of this PhD thesis is the study of the linearization principle in algebraic and local analytic geometry.
The Rank Theorem for analytic maps between convergent power series spaces developed by Hauser and Müller is extended to a purely algebraic setting: A Rank Theorem for a new class of maps on power series spaces (over a field of characteristic zero), so-called textile maps, is proven. This class includes the classic case of substitutions of power series. Moreover, we consider a Rank Theorem with parameters and give a corresponding result for power series with coefficients in a test-ring (basically a local ring with nilpotent maximal ideal).
The developed theory is used to show that several important results from singularity theory are consequences or special instances of the linearization principle, i.e., the corresponding Rank Theorem. These include a trivialization theorem by Denef-Loeser, the Grinberg-Kazhdan-Drinfeld formal arc theorem, an inversion theorem by Lamel-Mir, Tougeron's implicit function theorem as well as the approximation theorems by Artin and Wavrik.
In the second part of the thesis approaches and ideas for the study of zero sets of textile maps, so-called felts, especially in the case of arc spaces, are given. This leads to the study of quotients of polynomial rings in countably many indeterminates.
Finally, some constructions using etale neighbourhoods are used to proof that the normal crossings locus of a variety over an algebraically closed field of arbitrary characteristic is open. The same question is treated for other geometric properties which have applications in resolution of singularities.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
algebraic geometry rank theorem linearization approximation theorems jet spaces arc spaces power series etale neighbourhoods
Schlagwörter
(Deutsch)
Algebraische Geometrie Rangsatz Linearisierung Approximationssätze Jet Spaces Arc Spaces Potenzreihen Etale Umgebungen
Autor*innen
Clemens Bruschek
Haupttitel (Englisch)
The linearization principle in infinite dimensional algebraic geometry
Paralleltitel (Deutsch)
Das Linearisierungsprinzip in unendlich dimensionaler algebraischer Geometrie
Publikationsjahr
2009
Umfangsangabe
III, 103 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Luis Narvaez Macarro ,
Bernhard Lamel
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren ,
31 Mathematik > 31.51 Algebraische Geometrie
AC Nummer
AC07452289
Utheses ID
6108
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |