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Contribution to multiplicative chaos theory

Antoine Jego

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Mathematik

Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)

Doktoratsstudium NAWI aus dem Bereich Naturwissenschaften (DissG: Mathematik)

Betreuer*in

Nathanael Berestycki

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DOI

10.25365/thesis.70889

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-12671.88594.892636-4

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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)

Abstracts

Abstract

(Englisch)

Gaussian multiplicative chaos theory studies properties of random measures formally defined by exponentiating a real parameter times a logarithmically correlated Gaussian field. Introduced by Kahane in the eighties, this theory has attracted a lot of attention in the past decade and has been shown to be related to many areas in mathematics. This thesis shows that the multiplicative chaos theory can be used to study planar random walks and brownian motion.

Abstract

(Deutsch)

Die Theorie des multiplikativen Gaußsches-Chaos untersucht die Eigenschaften von Zufallsmaßen, die formal durch die Potenzierung eines reellen Parameters γ mal einem logarithmisch korrelierten Gaußschen-Feld definiert sind. Diese von Kahane in den achtziger Jahren eingeführte Theorie hat in den letzten zehn Jahren viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen und es hat sich gezeigt, dass sie mit vielen Bereichen der Mathematik in Verbindung steht. In dieser Arbeit wird zunächst das imaginäre multiplikative Chaos untersucht, wobei der Parameter γ als rein imaginäre komplexe Zahl gewählt wird. Im Vergleich zum reellen Fall ist das resultierende Objekt gröber und ist kein (komplexes) Maß mehr. Ziel dieses ersten Teils ist es, ein grundlegendes Dichteergebnis zu beweisen, das zeigt, dass für jede stetige Testfunktion f ungleich Null die komplexwertige Zufallsvariable, die man durch Integration des imaginären Chaos gegen f erhält, eine glatte Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes auf C hat. Überraschenderweise sind die grundlegenden Dichteergebnisse für imaginäres Chaos nicht einfach zu beweisen, und einer der Hauptbeiträge dieses Teils ist die Einführung des Malliavin-Calculus in die Untersuchung des (komplexen) multiplikativen Chaos. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit dem Brownschen multiplikativen Chaosmaß. Dieses Maß wurde erst kürzlich eingeführt und ist ein Beispiel für multiplikatives Chaos, das mit einem nicht-Gaußschen Feld assoziiert ist: Es ist formal definiert durch Potenzierung von γ mal der Quadratwurzel der lokalen Zeiten der zweidimensionalen Brownschen Bewegung. Bislang wurden nur die subkritischen Maße untersucht, bei denen der Parameter γ kleiner als 2 ist. Kapitel 3 betrachtet den kritischen Fall, in dem γ = 2 ist, unter Verwendung von drei verschiedenen Approximationsverfahren, die alle zum gleichen universellen Maß führen. Einerseits exponentiieren wir die Quadratwurzel der lokalen Zeiten kleiner Kreise und zeigen Konvergenz in der Seneta-Heyde-Normalisierung sowie in der abgeleiteten Martingal-Normalisierung. Andererseits konstruieren wir das kritische Maß als einen Grenzwert von subkritischen Maßen. Dies ist das erste Beispiel für ein nicht-Gaußsches kritisches multiplikatives Chaos. Schließlich konstruieren wir ein multiplikatives Chaosmaß, das mit einer Brownschen Schleifensuppe in einem begrenzten Bereich D der Ebene mit gegebener Intensität θ > 0 assoziiert ist und formal durch Potenzierung der Quadratwurzel ihres Besetzungsfeldes erhalten wird. Das Maß wird über ein Regularisierungsverfahren konstruiert, bei dem Schleifen mit einer festen Rate abgetötet werden, was uns erlaubt, die Brownschen multiplikativen Chaosmaße zu nutzen. Für die kritischen Intensität θ = 1/2 wird gezeigt, dass dieses Maß mit dem hyperbolischen Kosinus des Gaußschen freien Feldes übereinstimmt, das eng mit dem Liouville-Maß verwandt ist. Daraus lassen sich mehrere Schlussfolgerungen ziehen, die den Zusammenhang zwischen dem multiplikativen Brownschen Chaos, dem freien Gaußschen Feld und dem Liouville-Maß verdeutlichen. So wird beispielsweise gezeigt, dass Liouville-typische Punkte von unendlicher Schleifenvielfalt sind, wobei der relative Beitrag jeder Schleife zur Gesamtdicke des Punktes durch die Poisson–DirichletVerteilung mit dem Parameter θ = 1/2 beschrieben wird. Umgekehrt beschreibt das Brownsche Chaos, das jeder Schleife zugeordnet ist, ihren mikroskopischen Beitrag zum Liouville-Maß. Nebenbei enthüllt unser Beweis eine überraschende exakte Integrierbarkeit des multiplikativen Chaos, das einer getöteten Brownschen Schleifensuppe zugeordnet ist. Wir erhalten auch einige Abschätzungen über die Schleifensuppe, die von unabhängigem Interesse sein könnten.

Autor*innen

Antoine Jego

Haupttitel (Englisch)

Contribution to multiplicative chaos theory

Paralleltitel (Deutsch)

Beitrag zur multiplikativen Chaostheorie

Publikationsjahr

2021

Umfangsangabe

xiv, 290 Seiten : Illustrationen

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Yves Le Jan ,

Ofer Zeitouni

Klassifikation

31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung

AC Nummer

AC16521030

Utheses ID

61388

Studienkennzahl

UA | 796 | 605 | 405 |

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