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Entanglement beyond two qubits

geometry and entanglement witnesses

Philipp Krammer

Art der Arbeit

Dissertation

Universität

Universität Wien

Fakultät

Fakultät für Physik

Betreuer*in

Reinhold Bertlmann

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DOI

10.25365/thesis.6968

URN

urn:nbn:at:at-ubw:1-30191.92850.743464-5

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Abstracts

Abstract

(Deutsch)

Verschränkung ist eine faszinierende Eigenart der Quantenphysik, die diese beträchtlich von klassischen Konzepten unterscheidet. Einerseits impliziert Verschränkung überraschende philosophische Aspekte, wie die Unvereinbarkeit von lokal-realistischen Theorien mit der Quantenphysik, andererseits kann sie erfolgreich für Aufgaben der Quanteninformation und Quantenkommunikation verwendet werden, um Protokolle im Hinblick auf klassische Prozeduren zu verbessern. Es ist noch immer ein offenes mathematisches Problem, herauszufinden, ob ein Quantenzustand verschränkt ist oder nicht; für einen allgemeinen Zustand auf einem beliebig dimensionalen Hilbertraum gibt es keine operationelle Vorgangsweise. Für reine Zustände und niedrig dimensionale Zweiteilchen-Systeme, z.B. für zwei Qubits, ist dieses Problem gelöst, da berechenbare notwendige und hinreichende Bedingungen für Separabilität (d.h. für Nicht-Verschränktheit) gefunden wurden. Außerdem kann die Verschränkung für ein Zwei-Qubit-System leicht quantifiziert werden. Für höher dimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme wurde in Bezug auf die Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung schon einiges erreicht, allerdings kann das Problem noch nicht als gelöst angesehen werden, vieles ist noch zu erforschen. In dieser Dissertation werden neue Methoden zur Bestimmung und Quantifizierung von Verschränkung für Systeme, die über Zwei-Qubit-Systeme hinausgehen, präsentiert. Zustände solcher Systeme werden üblicherweise durch Dichteoperatoren beschrieben und in Matrix-Schreibweise verwendet. Für hochdimensionale und/oder Mehrteilchen-Systeme können diese Dichtematrizen allerdings sehr unpraktisch werden. Mit Hilfe von Bloch-Zerlegungen können Dichteoperatoren kompakter und einfacher dargestellt werden. In dieser Schreibweise werden Dichteoperatoren in eine vollständige und orthogonale Operatorenbasis des Operatorenraums zerlegt. Für Qubits ist diese Schreibweise geläufig und üblicherweise werden die Pauli-Spin-1/2 Operatoren für die Operatorenbasis verwendet. Für Qudits, das sind Zustände allgemein dimensionaler Systeme, gibt es allerdings keine eindeutige Verallgemeinerung der Pauli-Operatorenbasis. Daher untersuchen wir drei mögliche Operatorenbasen: Die verallgemeinerte Gell-Mann-Operatorenbasis, die Polarisationsoperatorenbasis, sowie die Weyloperatorenbasis. Weiters wird eine Methode präsentiert, mit welcher die Zerlegung eines beliebigen Operators in eine der drei Operatorenbasen mit Hilfe der Zerlegung von sogenannten Standardoperatoren gefunden werden kann. Als Beispiel zur Anwendung dieser Methode betrachten wir den maximal verschränkten Zwei-Qudit Zustand und zerlegen diesen in jede der Operatorenbasen. Im Zusammenhang mit der Bestimmung von Verschränkung sind „Entanglement Witnesses'“ ein wichtiges und oft verwendetes Hilfsmittel. Diese sind Observablen und detektieren die Verschränkung eines Zustandes, sofern sie für diesen einen negativen Erwartungswert aufweisen, und wenn gleichzeitig bekannt ist, dass der Erwartungswert für alle separablen Zustände nicht negativ werden kann. Diese letztere Bedingung ist allerdings im Allgemeinen nicht leicht zu zeigen. In diesem Zusammenhang bietet sich die Verwendung von Bloch-Zerlegungen für vereinfachte Relationen an, und somit kann die Bedingung in vielen Fällen bewiesen werden. Eine besondere Klasse von Entanglement Witnesses sind geometrische Entanglement Witnesses, welche eine direkte euklidisch-geometrische Darstellung des Operatorenraumes erlauben. Die Wichtigkeit dieser Witnesses wird durch „Shift“-Methoden verdeutlicht, welche verschränkte und im Speziellen „bound entangled“ Zustände detektieren können, und außerdem helfen, die Menge der separablen Zustände von konvexen Untermengen von Zuständen zu bestimmen. Als Beispiel betrachten wir eine Drei-Parameter-Familie von Zwei-Qutrit Zuständen. Weiters können geometrische Entanglement Witnesses auch zur geometrischen Quantifizierung von Verschränkung verwendet werden, insbesondere zur Bestimmung des Hilbert-Schmidt Verschränkungsmaßes. Dies wird an den Beispielen der isotropen Zwei-Qudit Zustände und Zwei-Parameter Familien von Zwei-Qubit und Zwei-Qutrit Zuständen gezeigt. Zuletzt widmen wir uns dem Problem der Bestimmung von Verschränkung in Mehr-Qubit Systemen. In diesem Zusammenhang bieten wir eine allgemeine Konstruktion von Entanglement Witnesses unter Verwendung von statischen Strukturfaktoren an. In der Festkörperphysik beschreiben Strukturfaktoren dynamische Eigenschaften von Festkörpern in Streuexperimenten. Die strukturellen Entanglement Witnesses detektieren echte Mehrteilchen-Verschränkung, wie z.B. Dicke-Zustände und Dicke-ähnliche Zustände mit geänderten Phasen der vorkommenden Terme. Sie beinhalten außerdem nur Zwei-Punkt-Korrelationen und sind für die experimentelle Anwendung in verschieden physikalischen Systemen geeignet.

Abstract

(Englisch)

Entanglement is a fascinating curiosity of quantum physics that distinguishes it considerably from classical concepts. On the one hand it implicates surprising philosophical aspects such as the incompatibility of local realistic theories with quantum physics, on the other hand it can be successfully implied in quantum information and quantum communication tasks to improve protocols with respect to classical procedures. It is still an open mathematical problem to determine whether a quantum state is entangled or not; there is no operational procedure for a general state on an arbitrary dimensional Hilbert space. For pure states and lower dimensional bipartite systems, e.g., for two qubits, the problem is solved, since computable necessary and sufficient conditions for separability (i.e. for being not entangled) were found. Moreover, if one seeks to quantify the entanglement of a quantum state, this can be conveniently done for a system of two qubits. For higher dimensional and/or multipartite systems much has been accomplished in the context of entanglement detection and quantification, but the problem cannot be seen as solved at all, and much has still to be investigated. The aim of this thesis is to present new methods to detect and quantify entanglement for systems beyond two qubits. States of these systems are, as usual, described by density operators that are usually put into matrix notation. For high dimensional and/or multipartite systems, these density matrices can become, however, quite unhandy. A mathematical tool to express density operators in a compact and simpler way is provided by the Bloch vector decomposition. In this notation we decompose the density operator into a complete and orthogonal basis of operators of the operator space. For qubits this notation is well known and usually one uses the Pauli spin-1/2 operators as the operator basis. For qudits, i.e. states of arbitrary dimensional systems, however, there is no unique generalization of the Pauli operator basis. We therefore present three possible choices of operator bases: the generalized Gell-Mann operator basis, the polarization operator basis, and the Weyl operator basis. We furthermore provide a method to find the decomposition of any operator (not necessarily density operators) into one of the three operator bases via the decomposition of so-called standard operators. As an application example of the method we consider the maximally entangled two-qudit state and decompose it according to each basis. In the context of entanglement detection, entanglement witnesses are an important and frequently used tool. They are observables and detect the entanglement of a state if they reveal a negative expectation value for it, and if at the same time it is known that the expectation value has to be non-negative for all separable states. This latter condition is, however, in general not straightforward to show. A simplification in this connection is the usage of Bloch decompositions, which offer new relations and help to prove the condition in many cases. A particular class of entanglement witnesses are geometric entanglement witnesses. These allow a direct Euclidean geometrical representation of operator space. We show the importance of these witnesses by giving shift methods that can detect entangled and in particular bound entangled states, and help to determine the set of separable states for convex subsets of states. Examples for a three-parameter family of two-qutrit states are given. Geometric entanglement witnesses can also be applied for geometrical quantification of entanglement, in particular for determining the Hilbert-Schmidt measure of entanglement. We give examples for the isotropic two-qudit state and two-parameter families of two-qubit and two-qutrit states. Finally, we address the problem of entanglement detection in multi-qubit systems. In this context we provide a general construction of entanglement witnesses using static structure factors. In solid state physics, structure factors describe dynamical properties of solids in scattering experiments. The structural witnesses can detect many genuinely multipartite entangled states, such as Dicke states and Dicke-like states with changed phases of the constituting terms. Moreover, they contain two-point correlations only and are apt for experimental application for various physical systems.

Autor*innen

Philipp Krammer

Haupttitel (Englisch)

Entanglement beyond two qubits

Hauptuntertitel (Englisch)

geometry and entanglement witnesses

Paralleltitel (Deutsch)

Verschränkung jenseits von zwei Qubits: ; Geometrie und Entanglement witnesses

Publikationsjahr

2009

Umfangsangabe

122 S. : graph. Darst.

Sprache

Englisch

Beurteiler*innen

Frank Verstraete ,

Andreas Buchleitner

Klassifikation

33 Physik > 33.23 Quantenphysik

AC Nummer

AC07452007

Utheses ID

6298

Studienkennzahl

UA | 091 | 411 | |

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